W tym podrozdziale będziemy zakładać, że \((X,\frak M,\mu )\) będzie przestrzenią mierzalną z miarą. Niech \(p,q\in [1,+\infty ]\) będą wykładnikami sprzężonymi tzn. \(\frac 1p+\frac 1q=1\), \(p,q\in (0,+\infty )\). Przyjmujemy, że \(1\) i \(+\infty \) są również parą wykładników sprzężonych.
Definicja 3.5.1 Dla \(f\in \mathcal M(X)\) zdefiniujmy
\[ ||f||_p:=\left (\int _X|f|^p\,d\mu \right )^{\frac 1p}, \ p\in (0,+\infty ), \]
oraz istotny kres górny
\[ ||f||_{\infty }=\operatorname {ess\,sup}|f|=\inf \{c\geq 0: |f(x)|\leq c \ \text {dla $\mu $-p.w. $x\in X$}\}. \]
Zdefiniujmy następujące przestrzenie dla \(p\in (0,+\infty ]\)
\[ L^p(X,\mu ):=\{f\in \mathcal M(X): ||f||_p<+\infty \}. \]
Twierdzenie 3.5.2 Jeżeli \(p,q\in [1,+\infty ]\) są wykładnikami sprzężonymi, \(f\in L^p(X,\mu )\), \(g\in L^q(X,\mu )\), to \(fg\in L^1(X,\mu )\) oraz
\[ ||fg||_1\leq ||f||_p||g||_q. \]
Dowód. Dla \(p\in (1,+\infty )\) teza wynika z nierówności Höldera. Dla \(p=+\infty \) mamy
\[ |f(x)g(x)|\leq ||f||_{\infty }|g(x)| \ \text {dla $\mu $-p.w. $x\in X$}, \]
całkując powyższą nierówność dostajemy tezę. Przypadek \(p=1\) jest analogiczny.
Dowód. Dla \(p\in (1,+\infty )\) teza wynika z nierówności Minkowskiego. Dla \(p=1\) lub \(p=+\infty \) teza wynika z nierówności trójkąta \(|f+g|\leq |f|+|g|\).
Definicja 3.5.4 W przestrzeniach \(L^p(X,\mu )\) dla \(p\in (0,+\infty ]\) zdefiniujmy relację równoważności
\[ f\sim g \iff f=g \ \mu -\text {p.w.} \]
Wtedy \(L^p(X,\mu )/{\sim }\) jest przestrzenią wektorową oznaczaną również przez \(L^p(X,\mu )\). Dla \([f]\in L^p(X,\mu )/{\sim }\) przyjmujemy \(||\,[f]\,||_p=||f||_p\).
Obserwacja 3.5.5 Dla \(p\in [1,+\infty ]\) funkcja \(||\cdot ||_p\) jest normą w przestrzeni \(L^p(X,\mu )\). Ponadto dla \(p=2\) norma \(||\cdot ||_2\) pochodzi od iloczynu skalarnego
\[ \langle f,g\rangle =\int _Xfg\,d\mu . \]
Dowód. Jedyną trudnością jest nierówność trójkąta, która wynika z Twierdzenia 3.5.3.
Ćwiczenie 3.5.6 Funkcja \(||\cdot ||_p\), dla \(p\in (0,1)\) nie jest normą (nie spełnia warunku trójkąta).
Przypomnijmy, że przestrzeń unormowana \((X,||\cdot ||)\) jest przestrzenią Banacha14, gdy jest przestrzenią zupełną w normie \(||\cdot ||\), tzn. wszystkie ciągi Cauchy’ego15 w normie \(||\cdot ||\) są zbieżne. Przestrzeń Hilberta to przestrzeń Banacha z normą zadaną przez iloczyn skalarny.
Dowód. Wystarczy wykazać, że przestrzeń \(L^p(X,\mu )\) jest zupełna.
Przypadek \(p\in [1,+\infty )\).
Niech \(\{f_n\}\) będzie ciągiem Cauchy’ego w \(L^p(X,\mu )\). Wtedy istnieje podciąg \(\{f_{n_i}\}\) taki, że
\( \seteqsection {3} \)
\begin{equation} \label {w21} ||f_{n_{i+1}}-f_{n_i}||_p<\frac {1}{2^i}, \ i\in \N . \end{equation}
Niech
\[ g_k=\sum _{i=1}^k|f_{n_{i+1}}-f_{n_i}| \ \text {oraz} \ g=\sum _{i=1}^{\infty }|f_{n_{i+1}}-f_{n_i}|. \]
Z nierówności Minkowskiego i nierówności (3.5.1) dostajemy \(||g_k||_p<1\). Zauważmy, że \(g_k^p\nearrow g^p\), \(k\to \infty \), a z twierdzenia o zbieżności monotonicznej mamy \(||g||_p\leq 1\). Z tego wynika, że \(g<+\infty \) \(\mu \)=p.w., zatem szereg
\[ f_{n_1}(x)+\sum _{i=1}^{\infty }f_{n_{i+1}}(x)-f_{n_i}(x) \ \text {jest zbieÅijny $\mu $-p.w. do funkcji} \ f(x). \]
Przyjmijmy \(f(x)=0\) dla \(x\) takich, że powyższy szereg jest rozbieżny. Ponieważ
\[ f_{n_1}(x)+\sum _{i=1}^{k}f_{n_{i+1}}(x)-f_{n_i}(x)=f_{n_k}(x), \ \text {to} \ \lim _{i\to \infty } f_{n_i}(x)=f(x) \ \mu -\text {p.w.} \]
Musimy wykazać, że \(f\) jest granicą ciągu \(f_{n_i}\) w normie \(||\cdot ||_p\). Ustalmy dowolny \(\epsilon >0\), wtedy istnieje \(N\in \N \) taki, że dla dowolnych \(n,m>N\) mamy \(||f_n-f_m||_p<\epsilon \). Z lematu Fatou (Lemat 2.1.25)
\[ \int _X|f-f_m|^p\,d\mu \leq \liminf _{n_i\to \infty }\int _X|f_{n_i}-f_m|^p\,d\mu \leq \epsilon ^p, \]
czyli \(f-f_m\in L^p(X,\mu )\) i \(f=(f-f_m)+f_m\in L^p(X,\mu )\) oraz \(||f-f_m||_p\to 0\), \(m\to \infty \).
Przypadek \(p=+\infty \).
Niech \(\{f_n\}\) będzie ciągiem Cauchy’ego w \(L^{\infty }(X,\mu )\). Zdefiniujmy zbiory dla \(k,n,m\in \N \)
\[ A_k=\{x\in X: |f_k(x)|>||f_k||_{\infty }\} \ \text {oraz} \ M_{n,m}=\{x\in X: |f_n(x)-f_m(x)|>||f_n-f_m||_{\infty }\}. \]
Wówczas \(\mu (E)=\mu \left (\bigcup _{k,n,m=1}^{\infty }(A_k\cup M_{n,m})\right )=0\), a ciąg \(f_n\) jest zbieżny jednostajnie do pewnej funkcji \(f\) ograniczonej na dopełnieniu zbioru \(E\). Przyjmijmy \(f(x)=0\), \(x\in E\). Wtedy \(f\in L^{\infty }(X,\mu )\) oraz \(||f-f_m||_{\infty }\to 0\), \(m\to \infty \).
Twierdzenie 3.5.8 Jeżeli \(p\in [1,+\infty ]\), \(\{f_n\}\) jest ciągiem Cauchy’ego w przestrzeni \(L^p(X)\) zbieżnym do funkcji \(f\), to ciąg \(\{f_n\}\) zawiera podciąg \(\{f_{n_i}\}\) zbieżny \(\mu \)-p.w. do \(f\).
Dowód. Wynika z dowodu Twierdzenia 3.5.7.
Obserwacja 3.5.9 Jeżeli \(p\in [1,+\infty ]\), to zbiór
\[ S=\{f\in \mathcal M_0(X): \mu (\{x\in X: f(x)\neq 0\})<+\infty \} \]
jest gęsty w przestrzeni \(L^p(X,\mu )\).
Dowód. Zauważmy, że \(S\subset L^p(X,\mu )\). Wystarczy wykazać tezę dla funkcji dodatnich. Niech \(f\geq 0\), \(f\in L^p(X,\mu )\) wtedy istnieje ciąg rosnących funkcji prostych mierzalnych
\(f_n\in \mathcal M_0^+(X)\), \(0\leq f_n\nearrow f\), z czego wynika, że \(f_n\in L^p(X,\mu )\cap S\). Wtedy
\[ |f_n-f|^p\leq |f_n|^p+|f|^p\leq 2|f|^p \]
i z twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej (Twierdzenie 2.1.28) wynika, że
\(||f_n-f||_p\to 0\), \(n\to \infty \), czyli \(f\) należy do domknięcia \(S\) w przestrzeni \(L^p(X,\mu )\).
14 Stefan Banach (1892-1945) – polski matematyk.
15 Augustin Louis Cauchy (1789-1857) – francuski matematyk.