Definicja 1.4.1 Niech (X,\frak M) będzie przestrzenią mierzalną. Funkcję \mu :\frak M\to [0,+\infty ] nazywamy miarą nieujemną (miarą), gdy spełnia poniższe warunki:
1. \mu (\emptyset )=0;
2. \forall \, A_j\in \frak M, j\in \N , A_j\cap A_k=\emptyset , j\neq k: \ \mu \left (\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right )=\sum _{j=1}^{\infty }\mu (A_j).
Warunek (2) nazywamy warunkiem przeliczalnej addytywności.
Trójkę (X,\frak M,\mu ) nazywamy przestrzenią mierzalną z miarą. Jeżeli \mu (X)<+\infty to mówimy, że miara \mu jest skończona, a jeżeli \mu (X)=1, to nazywamy ją miarą probabilistyczną.
Obserwacja 1.4.2 Warunki (1) i (2) w Definicji 1.4.1 są równoważne warunkom \mu \not \equiv +\infty i (2).
Dowód. Jeżeli \mu (\emptyset )=0, to \mu \not \equiv +\infty . Z drugiej strony jeżeli \mu \not \equiv +\infty , to istnieje A\in \frak M taki, że \mu (A)<+\infty . Wtedy A=A\cup \emptyset \cup \emptyset \cup \dots i korzystając z warunku (2) dostajemy
\mu (A)=\mu (A)+\sum _{j=2}^{\infty }\mu (\emptyset ),
z czego wynika, że \sum _{j=2}^{\infty }\mu (\emptyset )=0, czyli \mu (\emptyset )=0.
Przykład 1.4.3 Niech X będzie dowolnym zbiorem niepustym. Poniższe funkcje są miarami na \mathcal P(X).
\mu (A)=\left \{ \begin {array}{ll} \# A, & \text {gdy $A$ jest skoÅĎczony,} \\ +\infty , & \text {gdy $A$ jest nieskoÅĎczony.} \end {array} \right .
2. Miara Diraca3 w punkcie a\in X
\delta _a(A)=\left \{ \begin {array}{ll} 1, & a\in A, \\ 0, & a\notin A. \end {array} \right .
3. Niech X=\R , \frak M=\left \{A\subset \R \,: \# A\leq \aleph _0\ \text {lub} \ \# A’\leq \aleph _0 \right \} oraz
\mu (A)=\left \{ \begin {array}{ll} 1, & \# A’\leq \aleph _0, \\ 0, & \# A\leq \aleph _0. \end {array} \right .
Obserwacja 1.4.4 Niech (X,\frak M,\mu ) będzie przestrzenią mierzalną z miarą. Wtedy
1. jeżeli A_1,\dots ,A_n\in \frak M oraz A_j\cap A_k=\emptyset , j\neq k, to
\mu (A_1\cup \dots \cup A_n)=\mu (A_1)+\dots +\mu (A_n) \ (\text {{\it skoÅĎczona addytywnoÅŻÄĞ}});
2. jeżeli A,B\in \frak M oraz A\subset B, to \mu (A)\leq \mu (B). Jeżeli dodatkowo \mu (B)<+\infty , to \mu (B\setminus A)=\mu (B)-\mu (A);
3. jeżeli B_j\in \frak M, j\in \N , to
\mu \left (\bigcup _{j=1}^{\infty }B_j\right )\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu (B_j) \ (\text {{\it przeliczalna subaddytywnoÅŻÄĞ}});
4. jeżeli B_1,\dots ,B_n\in \frak M, to
\mu (B_1\cup \dots \cup B_n)\leq \mu (B_1)+\dots +\mu (B_n) \ (\text {{\it skoÅĎczona subaddytywnoÅŻÄĞ}});
5. jeżeli \{B_j\}\subset \frak M, jest wstępującym ciągiem zbiorów, to
\mu \left (\bigcup _{j=1}^{\infty }B_j\right )=\lim _{j\to \infty }\mu (B_j);
6. jeżeli \{B_j\}\subset \frak M, jest zstępującym ciągiem zbiorów oraz \mu (B_1)<+\infty , to
\mu \left (\bigcap _{j=1}^{\infty }B_j\right )=\lim _{j\to \infty }\mu (B_j);
7. jeżeli A,Z\in \frak M oraz \mu (Z)=0, to
\mu (A\cup Z)=\mu (A\setminus Z)=\mu (A).
Dowód. Punkt (1) wynika wprost z definicji miary, gdy przyjmiemy A_j=\emptyset , dla j>n.
Punkt (2). Zauważmy, że B=(B\setminus A)\cup A oraz (B\setminus A)\cap A=\emptyset . Dostajemy wtedy
\seteqsection {1}
\begin{equation} \label {w2} \mu (B)=\mu (B\setminus A)+\mu (A). \end{equation}
Ze wzoru (1.4.1) wynika, że \mu (B)\geq \mu (A).
Jeżeli dodatkowo \mu (B)<+\infty , to również \mu (B\setminus A)<+\infty i \mu (A)<+\infty . Wtedy wzór (1.4.1) możemy zapisać jako \mu (B\setminus A)=\mu (B)-\mu (A).
Punkt (3). Zdefiniujmy nowy ciąg zbiorów
A_1=B_1, \ A_j=B_j\setminus \left (B_1\cup \dots \cup B_{j-1}\right ), j\geq 2.
Ciąg \{A_j\} jest ciągiem parami rozłącznych zbiorów mierzalnych, A_j\subset B_j oraz
\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j=\bigcup _{j=1}^{\infty }B_j. Korzystając z definicji miary otrzymujemy
\mu \left (\bigcup _{j=1}^{\infty }B_j\right )=\mu \left (\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right )=\sum _{j=1}^{\infty }\mu (A_j)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu (B_j).
Punkt (4). Wystarczy w punkcie (3) przyjąć B_j=\emptyset dla j>n.
Punkt (5). Zdefiniujmy nowy ciąg zbiorów
A_1=B_1, \ A_j=B_j\setminus B_{j-1}, j\geq 2.
Ciąg \{A_j\} jest ciągiem parami rozłącznych zbiorów mierzalnych oraz A_1\cup \dots \cup A_k=B_k, dla k\in \N . Otrzymujemy
\begin {aligned} &\mu (B_k)=\mu \left (A_1\cup \dots \cup A_k\right )=\sum _{j=1}^k\mu (A_j)\stackrel {k\to +\infty }{\rightarrow } \sum _{j=1}^{\infty }\mu (A_j)\\ &=\mu \left (\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right )=\mu \left (\bigcup _{j=1}^{\infty }B_j\right ). \end {aligned}
Punkt (6). Zauważmy, że ciąg zbiorów \{B_1\setminus B_j\} jest wstępujący. Korzystając z punktu (5) otrzymujemy
\lim _{j\to +\infty }\mu \left (B_1\setminus B_j\right )=\mu \left (\bigcup _{j=1}^{\infty }(B_1\setminus B_j)\right )=\mu \left (B_1\setminus \bigcap _{j=1}^{\infty }B_j\right ).
Ponieważ \mu (B_1)<+\infty , to możemy skorzystać z punktu (2) i dostać
\begin {aligned} \mu \left (B_1\setminus B_j\right )=&\mu (B_1)-\mu (B_j) \\ \mu \left (B_1\setminus \bigcap _{j=1}^{\infty }B_j\right )=&\mu (B_1)-\mu \left (\bigcap _{j=1}^{\infty }B_j\right ), \end {aligned}
z czego wynika, że \mu \left (\bigcap _{j=1}^{\infty }B_j\right )=\lim _{j\to \infty }\mu (B_j).
Punkt (7). Mamy następujące nierówności
\mu (A)\leq \mu (A\cup Z)=\mu ((A\setminus Z)\cup Z)=\mu (A\setminus Z)+\mu (Z)=\mu (A\setminus Z)\leq \mu (A).
Podamy teraz przykład pokazujący, że warunek \mu (B)<+\infty jest konieczny w punkcie (2) w Obserwacji 1.4.4.
Przykład 1.4.5 Niech \mu będzie dowolną miarą na (\R ,\mathcal B(\R )) taką, że \mu ([j,+\infty ))=+\infty , dla każdego j\in \N . Wtedy mamy \mu \left (\bigcap _{j=1}^{\infty }[j,+\infty )\right )=\mu (\emptyset )=0, a z drugiej strony \lim _{j\to \infty }\mu ([j,+\infty ))=+\infty .
3 Paul Dirac (1902-1984) – brytyjski fizyk.