Definicja 1.4.1 Niech \((X,\frak M)\) będzie przestrzenią mierzalną. Funkcję \(\mu :\frak M\to [0,+\infty ]\) nazywamy miarą nieujemną (miarą), gdy spełnia poniższe warunki:
1. \(\mu (\emptyset )=0\);
2. \(\forall \, A_j\in \frak M, j\in \N , A_j\cap A_k=\emptyset , j\neq k: \ \mu \left (\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right )=\sum _{j=1}^{\infty }\mu (A_j)\).
Warunek \((2)\) nazywamy warunkiem przeliczalnej addytywności.
Trójkę \((X,\frak M,\mu )\) nazywamy przestrzenią mierzalną z miarą. Jeżeli \(\mu (X)<+\infty \) to mówimy, że miara \(\mu \) jest skończona, a jeżeli \(\mu (X)=1\), to nazywamy ją miarą probabilistyczną.
Obserwacja 1.4.2 Warunki \((1)\) i \((2)\) w Definicji 1.4.1 są równoważne warunkom \(\mu \not \equiv +\infty \) i \((2)\).
Dowód. Jeżeli \(\mu (\emptyset )=0\), to \(\mu \not \equiv +\infty \). Z drugiej strony jeżeli \(\mu \not \equiv +\infty \), to istnieje \(A\in \frak M\) taki, że \(\mu (A)<+\infty \). Wtedy \(A=A\cup \emptyset \cup \emptyset \cup \dots \) i korzystając z warunku \((2)\) dostajemy
\[ \mu (A)=\mu (A)+\sum _{j=2}^{\infty }\mu (\emptyset ), \]
z czego wynika, że \(\sum _{j=2}^{\infty }\mu (\emptyset )=0\), czyli \(\mu (\emptyset )=0\).
Przykład 1.4.3 Niech \(X\) będzie dowolnym zbiorem niepustym. Poniższe funkcje są miarami na \(\mathcal P(X)\).
\[ \mu (A)=\left \{ \begin {array}{ll} \# A, & \text {gdy $A$ jest skoÅĎczony,} \\ +\infty , & \text {gdy $A$ jest nieskoÅĎczony.} \end {array} \right . \]
2. Miara Diraca3 w punkcie \(a\in X\)
\[ \delta _a(A)=\left \{ \begin {array}{ll} 1, & a\in A, \\ 0, & a\notin A. \end {array} \right . \]
3. Niech \(X=\R \), \(\frak M=\left \{A\subset \R \,: \# A\leq \aleph _0\ \text {lub} \ \# A’\leq \aleph _0 \right \}\) oraz
\[ \mu (A)=\left \{ \begin {array}{ll} 1, & \# A’\leq \aleph _0, \\ 0, & \# A\leq \aleph _0. \end {array} \right . \]
Obserwacja 1.4.4 Niech \((X,\frak M,\mu )\) będzie przestrzenią mierzalną z miarą. Wtedy
1. jeżeli \(A_1,\dots ,A_n\in \frak M\) oraz \(A_j\cap A_k=\emptyset \), \(j\neq k\), to
\[ \mu (A_1\cup \dots \cup A_n)=\mu (A_1)+\dots +\mu (A_n) \ (\text {{\it skoÅĎczona addytywnoÅŻÄĞ}}); \]
2. jeżeli \(A,B\in \frak M\) oraz \(A\subset B\), to \(\mu (A)\leq \mu (B)\). Jeżeli dodatkowo \(\mu (B)<+\infty \), to \(\mu (B\setminus A)=\mu (B)-\mu (A)\);
3. jeżeli \(B_j\in \frak M\), \(j\in \N \), to
\[ \mu \left (\bigcup _{j=1}^{\infty }B_j\right )\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu (B_j) \ (\text {{\it przeliczalna subaddytywnoÅŻÄĞ}}); \]
4. jeżeli \(B_1,\dots ,B_n\in \frak M\), to
\[ \mu (B_1\cup \dots \cup B_n)\leq \mu (B_1)+\dots +\mu (B_n) \ (\text {{\it skoÅĎczona subaddytywnoÅŻÄĞ}}); \]
5. jeżeli \(\{B_j\}\subset \frak M\), jest wstępującym ciągiem zbiorów, to
\[ \mu \left (\bigcup _{j=1}^{\infty }B_j\right )=\lim _{j\to \infty }\mu (B_j); \]
6. jeżeli \(\{B_j\}\subset \frak M\), jest zstępującym ciągiem zbiorów oraz \(\mu (B_1)<+\infty \), to
\[ \mu \left (\bigcap _{j=1}^{\infty }B_j\right )=\lim _{j\to \infty }\mu (B_j); \]
7. jeżeli \(A,Z\in \frak M\) oraz \(\mu (Z)=0\), to
\[ \mu (A\cup Z)=\mu (A\setminus Z)=\mu (A). \]
Dowód. Punkt \((1)\) wynika wprost z definicji miary, gdy przyjmiemy \(A_j=\emptyset \), dla \(j>n\).
Punkt \((2)\). Zauważmy, że \(B=(B\setminus A)\cup A\) oraz \((B\setminus A)\cap A=\emptyset \). Dostajemy wtedy
\( \seteqsection {1} \)
\begin{equation} \label {w2} \mu (B)=\mu (B\setminus A)+\mu (A). \end{equation}
Ze wzoru (1.4.1) wynika, że \(\mu (B)\geq \mu (A)\).
Jeżeli dodatkowo \(\mu (B)<+\infty \), to również \(\mu (B\setminus A)<+\infty \) i \(\mu (A)<+\infty \). Wtedy wzór (1.4.1) możemy zapisać jako \(\mu (B\setminus A)=\mu (B)-\mu (A)\).
Punkt \((3)\). Zdefiniujmy nowy ciąg zbiorów
\[ A_1=B_1, \ A_j=B_j\setminus \left (B_1\cup \dots \cup B_{j-1}\right ), j\geq 2. \]
Ciąg \(\{A_j\}\) jest ciągiem parami rozłącznych zbiorów mierzalnych, \(A_j\subset B_j\) oraz
\(\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j=\bigcup _{j=1}^{\infty }B_j\). Korzystając z definicji miary otrzymujemy
\[ \mu \left (\bigcup _{j=1}^{\infty }B_j\right )=\mu \left (\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right )=\sum _{j=1}^{\infty }\mu (A_j)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu (B_j). \]
Punkt \((4)\). Wystarczy w punkcie \((3)\) przyjąć \(B_j=\emptyset \) dla \(j>n\).
Punkt \((5)\). Zdefiniujmy nowy ciąg zbiorów
\[ A_1=B_1, \ A_j=B_j\setminus B_{j-1}, j\geq 2. \]
Ciąg \(\{A_j\}\) jest ciągiem parami rozłącznych zbiorów mierzalnych oraz \(A_1\cup \dots \cup A_k=B_k\), dla \(k\in \N \). Otrzymujemy
\[ \begin {aligned} &\mu (B_k)=\mu \left (A_1\cup \dots \cup A_k\right )=\sum _{j=1}^k\mu (A_j)\stackrel {k\to +\infty }{\rightarrow } \sum _{j=1}^{\infty }\mu (A_j)\\ &=\mu \left (\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right )=\mu \left (\bigcup _{j=1}^{\infty }B_j\right ). \end {aligned} \]
Punkt \((6)\). Zauważmy, że ciąg zbiorów \(\{B_1\setminus B_j\}\) jest wstępujący. Korzystając z punktu \((5)\) otrzymujemy
\[ \lim _{j\to +\infty }\mu \left (B_1\setminus B_j\right )=\mu \left (\bigcup _{j=1}^{\infty }(B_1\setminus B_j)\right )=\mu \left (B_1\setminus \bigcap _{j=1}^{\infty }B_j\right ). \]
Ponieważ \(\mu (B_1)<+\infty \), to możemy skorzystać z punktu \((2)\) i dostać
\[ \begin {aligned} \mu \left (B_1\setminus B_j\right )=&\mu (B_1)-\mu (B_j) \\ \mu \left (B_1\setminus \bigcap _{j=1}^{\infty }B_j\right )=&\mu (B_1)-\mu \left (\bigcap _{j=1}^{\infty }B_j\right ), \end {aligned} \]
z czego wynika, że \(\mu \left (\bigcap _{j=1}^{\infty }B_j\right )=\lim _{j\to \infty }\mu (B_j)\).
Punkt \((7)\). Mamy następujące nierówności
\[ \mu (A)\leq \mu (A\cup Z)=\mu ((A\setminus Z)\cup Z)=\mu (A\setminus Z)+\mu (Z)=\mu (A\setminus Z)\leq \mu (A). \]
Podamy teraz przykład pokazujący, że warunek \(\mu (B)<+\infty \) jest konieczny w punkcie \((2)\) w Obserwacji 1.4.4.
Przykład 1.4.5 Niech \(\mu \) będzie dowolną miarą na \((\R ,\mathcal B(\R ))\) taką, że \(\mu ([j,+\infty ))=+\infty \), dla każdego \(j\in \N \). Wtedy mamy \(\mu \left (\bigcap _{j=1}^{\infty }[j,+\infty )\right )=\mu (\emptyset )=0\), a z drugiej strony \(\lim _{j\to \infty }\mu ([j,+\infty ))=+\infty \).
3 Paul Dirac (1902-1984) – brytyjski fizyk.