Teoria miary i całki

1.6 Miary zewnętrzne. Konstrukcja Carathéodory’ego

Dowód. Sprawdzimy trzy warunki z Definicji 1.6.1.

• 1. Jest oczywiste, że $\varphi _{\alpha }(\emptyset )=0$.

• 2. Jeżeli $A\subset B\subset X$, to każde pokrycie zbioru $B$ jest również pokryciem zbioru $A$, z czego wynika, że obliczając wartość $\varphi _{\alpha }(A)$ bierzemy infimum po większej rodzinie zbiorów niż obliczając wartość $\varphi _{\alpha }(B)$. Z tego wynika, że $\varphi _{\alpha }(A)\leq \varphi _{\alpha }(B)$.

• 3. Niech $A_j\in \mathcal P(X)$, $j\in \N$, będą dowolnymi zbiorami. Bez straty ogólności możemy założyć, że $\sum _{j=1}^{\infty }\varphi _{\alpha }(A_j)<+\infty$. Ustalmy dowolne $\epsilon >0$. Wtedy dla dowolnego $j\in \N$ istnieje pokrycie $B_{jk}\in \mathcal A$ zbioru $A_j$, $A_j\subset \bigcup _{k=1}^{\infty }B_{jk}$ takie, że $\sum _{k=1}^{\infty }\alpha (B_{jk})\leq \varphi _{\alpha }(A_j)+2^{-j}\epsilon$. Wtedy $\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\subset \bigcup _{j=1}^{\infty }\bigcup _{k=1}^{\infty }B_{jk}$ oraz

  $$\varphi _{\alpha }\left (\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right )\leq \sum _{j=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }\alpha (B_{jk})\leq \sum _{j=1}^{\infty }(\varphi _{\alpha }(A_j)+2^{-j}\epsilon )=\sum _{j=1}^{\infty }\varphi _{\alpha }(A_j)+\epsilon .$$

  Z dowolności $\epsilon >0$ dostajemy tezę.

Dowód. Punkt $(1)$. Wykażemy następujące fakty.

• a) Jeżeli $A,B\in \frak M_{\varphi }$, to $A\cup B\in \frak M_{\varphi }$.

  Ustalmy dowolny zbiór $T\subset X$. Mamy

  $$\begin {aligned} &\varphi (T)\stackrel {A\in \frak M_{\varphi }}{=}\varphi (T\cap A)+\varphi (T\setminus A)\\ &\stackrel {B\in \frak M_{\varphi }}{=}\varphi (T\cap A)+\varphi ((T\setminus A)\cap B)+\varphi ((T\setminus A)\setminus B)\\ &=\varphi (T\cap (A\cup B)\cap A)+\varphi (T\cap (A\cup B)\setminus A)+\varphi (T\setminus (A\cup B))\\ &\stackrel {A\in \frak M_{\varphi }}{=}\varphi (T\cap (A\cup B))+\varphi (T\setminus (A\cup B)), \end {aligned}$$

  co oznacza, że $A\cup B\in \frak M_{\varphi }$.

• b) Jeżeli $A\in \frak M_{\varphi }$, to $A’\in \frak M_{\varphi }$.

  Ta własność wynika z faktu, że warunek Carathéodory’ego (1.6.1) można zapisać w formie symetrycznej względem dopełnienia

  $$\forall \, T\subset X: \varphi (T)=\varphi (T\cap A)+\varphi (T\cap A’).$$

• c) Jeżeli $A_j\in \frak M_{\varphi }$, $j\in \N$, to $\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\in \frak M_{\varphi }$.

  Załóżmy na początek, że $A,B\in \frak M_{\varphi }$ i $A\cap B=\emptyset$. Wtedy dla dowolnego zbioru $T\subset X$ mamy

  $$\varphi (T\cap (A\cup B))=\varphi (T\cap (A\cup B)\cap A)+\varphi (T\cap (A\cup B)\setminus A)=\varphi (T\cap A)+\varphi (T\cap B).$$

  Jeżeli $A_j$, $j\in \N$ są parami rozłącznymi zbiorami, to na mocy zasady indukcji matematycznej otrzymujemy, że dla każdego $n\in \N$ zachodzi

  $$\sum _{j=1}^n\varphi (T\cap A_j)=\varphi \left (T\cap \bigcup _{j=1}^nA_j\right )\leq \varphi \left (T\cap \bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right ).$$

  Przechodząc z $n\to \infty$ dostajemy

  $$\sum _{j=1}^{\infty }\varphi (T\cap A_j)\leq \varphi \left (T\cap \bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right ).$$

  Ponieważ $\varphi$ jest miarą zewnętrzną, to

  $$\varphi \left (T\cap \bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right )\leq \sum _{j=1}^{\infty }\varphi (T\cap A_j),$$

  z czego wynika, że

  $\seteqsection {1}$ $\seteqnumber {3}$

  $$\begin{equation} \label {w5} \varphi \left (T\cap \bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right )= \sum _{j=1}^{\infty }\varphi (T\cap A_j). \end{equation}$$

  Skoro $\bigcup _{j=1}^{n}A_j\in \frak M_{\varphi }$, to

  $$\varphi (T)=\varphi \left (T\cap \bigcup _{j=1}^nA_j\right )+\varphi \left (T\setminus \bigcup _{j=1}^nA_j\right )\geq \sum _{j=1}^n\varphi \left (T\cap A_j\right )+\varphi \left (T\setminus \bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right ),$$

  stąd w granicy $n\to \infty$ dostajemy

  $$\varphi (T)\geq \sum _{j=1}^{\infty }\varphi \left (T\cap A_j\right )+\varphi \left (T\setminus \bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right )=\varphi \left (T\cap \bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right )+\varphi \left (T\setminus \bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right ),$$

  czyli $\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\in \frak M_{\varphi }$.

  Dla dowolnych zbiorów $A_j\in \frak M_{\varphi }$, $j\in \N$ możemy ich sumę przedstawić jako sumę zbiorów parami rozłącznych $\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j=\bigcup _{j=1}^{\infty }B_j$, gdzie

  $$B_1=A_1, \ B_j=A_j\setminus (A_1\cup \dots \cup A_{j-1}), \, j\geq 2.$$

• c) $\emptyset \in \frak M_{\varphi }$.

  Dla dowolnego $T\subset X$ mamy

  $$\varphi (T)=0+\varphi (T)=\varphi (T\cap \emptyset )+\varphi (T\setminus \emptyset ).$$

Punkt $(2)$. Podstawiając do równości (1.6.3) zbiór $T=X$ dostajemy

$$\varphi \left (\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right )= \sum _{j=1}^{\infty }\varphi (A_j),$$

a więc $\varphi |_{\frak M_{\varphi }}$ jest miarą. Pozostaje pokazać, że miara ta jest zupełna. Załóżmy, że $\varphi (A)=0$. Dla dowolnego $T\subset X$ mamy $\varphi (T\cap A)\leq \varphi (A)=0$ i wtedy

$$\varphi (T)\leq \varphi (T\cap A)+\varphi (T\setminus A)\leq 0+\varphi (T)=\varphi (T),$$

czyli zbiór $A$ spełnia warunek Carathéodory’ego i $A\in \frak M_{\varphi }$.

Niech $(X,d)$ będzie przestrzenią metryczną, $Y,Z\subset X$. Odstęp między zbiorami $Y,Z$ definiujemy jako

$$\operatorname {dist}(Y,Z)=\inf \left \{d(y,z): y\in Y, z\in Z\right \}.$$

Jeżeli $Y=\emptyset$ lub $Z=\emptyset$, to przyjmujemy $\operatorname {dist}(Y,Z)=+\infty$.

Dowód. Wystarczy wykazać, że każdy zbiór otwarty jest $\varphi$-mierzalny. Niech $G\in \operatorname {top}X$. Zdefiniujmy zbiory $G_n=\{x: \operatorname {dist}(x,G’)>\frac 1n\}$, wtedy $\operatorname {dist}(G_n,G’)\geq \frac 1n>0$, $n\in \N$. Niech $D_n=\{x: \frac {1}{n+1}<\operatorname {dist}(x,G’)\leq \frac 1n \}$, wtedy $\operatorname {dist}(D_i,D_j)\geq \frac {1}{i+1}-\frac {1}{j}$ dla $i+2\leq j$. Zauważmy, że skoro $G$ jest zbiorem otwartym to $G=\{x: \operatorname {dist}(x,G’)>0\}$ i wtedy

$\seteqsection {1}$ $\seteqnumber {4}$

$$\begin{equation} \label {w6} G\setminus G_n=\bigcup _{j=n}^{\infty }D_j, \ n\in \N . \end{equation}$$

Aby pokazać, że $G$ jest $\varphi$-mierzalny wystarczy wykazać warunek (1.6.2)

$$\forall \, T\subset X, \varphi (T)<+\infty : \varphi (T)\geq \varphi (T\cap G)+\varphi (T\setminus G).$$

Weźmy dowolny zbiór $T\subset X$, $\varphi (T)<+\infty$, wtedy korzystając z metryczności $\varphi$ otrzymujemy

$$\varphi (T\cap D_1)+\varphi (T\cap D_3)+\dots +\varphi (T\cap D_{2n-1})=\varphi (T\cap (D_1\cup \dots \cup D_{2n-1}))\leq \varphi (T).$$

Podobnie można dostać

$$\varphi (T\cap D_2)+\varphi (T\cap D_4)+\dots +\varphi (T\cap D_{2n})=\varphi (T\cap (D_2\cup \dots \cup D_{2n}))\leq \varphi (T),$$

z czego wynika, że $\sum _{j=1}^{\infty }\varphi (T\cap D_j)\leq 2\varphi (T)<+\infty$. Korzystając z warunku (1.6.4) otrzymujemy

$$\varphi (T\cap (G\setminus G_n))\leq \sum _{j=n}^{\infty }\varphi (T\cap D_j)\to 0, \ n\to \infty .$$

Ponieważ $\operatorname {dist}(G_n,G’)>0$, to również $\operatorname {dist}(G_n\cap T,G’\cap T)>0$ a wtedy dostajemy

$$\begin {aligned} &\varphi (T\cap G)+\varphi (T\setminus G)\leq \varphi (T\cap (G\setminus G_n))+\varphi (T\cap G_n)+\varphi (T\setminus G)\\ &\leq \varphi (T\cap (G\setminus G_n))+\varphi (T)\to 0+\varphi (T)=\varphi (T), \ n\to \infty . \end {aligned}$$