Definicja 1.6.1 Niech \(X\) będzie zbiorem niepustym. Funkcję \(\varphi :\mathcal P(X)\to [0,+\infty ]\) nazywamy miarą zewnętrzną na \(X\), gdy spełnia poniższe warunki:
1. \(\varphi (\emptyset )=0\);
2. \(\forall \, A\subset B\subset X: \varphi (A)\leq \varphi (B)\);
3. \(\forall \, A_j\subset X, j\in \N : \varphi \left (\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right )\leq \sum _{j=1}^{\infty }\varphi (A_j)\).
Ćwiczenie 1.6.2 Wykazać, że \(\varphi \) jest miarą zewnętrzną wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek \((1)\) w Definicji 1.6.1 oraz
\[ \forall \,A,A_j\subset X, j\in \N : \left ( A\subset \bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\Rightarrow \varphi \left (A\right )\leq \sum _{j=1}^{\infty }\varphi (A_j)\right ). \]
Przykład 1.6.3 Przykłady miar zewnętrznych.
1. Każda miara określona na \(\mathcal P(X)\) jest miarą zewnętrzną.
2. Funkcja \(\varphi :\mathcal P(X)\to [0,+\infty ]\) określona wzorem
\[ \varphi (A)=\left \{ \begin {array}{ll} 0, & A=\emptyset ; \\ 1, & A\neq \emptyset \end {array} \right . \]
jest miarą zewnętrzną.
3. Funkcja \(\varphi :\mathcal P(\R )\to [0,+\infty ]\) określona wzorem
\[ \varphi (A)=\left \{ \begin {array}{ll} 0, & \# A\leq \aleph _0; \\ 1, & \# A>\aleph _0 \end {array} \right . \]
jest miarą zewnętrzną.
4. Funkcja \(\varphi :\mathcal P(\R )\to [0,+\infty ]\) określona wzorem
\[ \varphi (A)=\left \{ \begin {array}{lll} 0, & \# A\leq \aleph _0; \\ \frac 12, & \# A, \# A’>\aleph _0;\\ 1, & \# A’\leq \aleph _0 \end {array} \right . \]
jest miarą zewnętrzną.
Ćwiczenie 1.6.4 Czy funkcja \(\varphi (A)=\operatorname {diam}(A)\) jest miarą zewnętrzną na \(\mathcal P(\R ^n)\)?
Obserwacja 1.6.5 Niech \(\mathcal A\subset \mathcal P(X)\) będzie dowolną rodziną zbiorów taką, że \(\emptyset \in \mathcal A\), a \(\alpha :\mathcal A\to [0,+\infty ]\) będzie dowolną funkcją taką, że \(\alpha (\emptyset )=0\). Wtedy funkcja
\[ \varphi _{\alpha }(A):=\inf \left \{\sum _{j=1}^{\infty }\alpha (A_j): A_j\in \mathcal A, j\in \N , A\subset \bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right \}, \ A\subset X, \]
jest miarą zewnętrzną na \(X\).
Dowód. Sprawdzimy trzy warunki z Definicji 1.6.1.
1. Jest oczywiste, że \(\varphi _{\alpha }(\emptyset )=0\).
2. Jeżeli \(A\subset B\subset X\), to każde pokrycie zbioru \(B\) jest również pokryciem zbioru \(A\), z czego wynika, że obliczając wartość \(\varphi _{\alpha }(A)\) bierzemy infimum po większej rodzinie zbiorów niż obliczając wartość \(\varphi _{\alpha }(B)\). Z tego wynika, że \(\varphi _{\alpha }(A)\leq \varphi _{\alpha }(B)\).
3. Niech \(A_j\in \mathcal P(X)\), \(j\in \N \), będą dowolnymi zbiorami. Bez straty ogólności możemy założyć, że \(\sum _{j=1}^{\infty }\varphi _{\alpha }(A_j)<+\infty \). Ustalmy dowolne \(\epsilon >0\). Wtedy dla dowolnego \(j\in \N \) istnieje pokrycie \(B_{jk}\in \mathcal A\) zbioru \(A_j\), \(A_j\subset \bigcup _{k=1}^{\infty }B_{jk}\) takie, że \(\sum _{k=1}^{\infty }\alpha (B_{jk})\leq \varphi _{\alpha }(A_j)+2^{-j}\epsilon \). Wtedy \(\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\subset \bigcup _{j=1}^{\infty }\bigcup _{k=1}^{\infty }B_{jk}\) oraz
\[ \varphi _{\alpha }\left (\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right )\leq \sum _{j=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }\alpha (B_{jk})\leq \sum _{j=1}^{\infty }(\varphi _{\alpha }(A_j)+2^{-j}\epsilon )=\sum _{j=1}^{\infty }\varphi _{\alpha }(A_j)+\epsilon . \]
Z dowolności \(\epsilon >0\) dostajemy tezę.
Ćwiczenie 1.6.6 Czy zawsze musi zachodzić równość \(\varphi _{\alpha }(A)=\alpha (A)\) dla \(A\in \mathcal A\)?
Definicja 1.6.7 (Konstrukcja Carathéodory’ego) Niech \(\varphi :\mathcal P(X)\to [0,+\infty ]\) będzie miarą zewnętrzną. Zbiór \(A\) nazywamy mierzalnym względem \(\varphi \) w sensie Carathéodory’ego4 (\(\varphi \)-mierzalnym), gdy spełnia warunek Carathéodory’ego:
\( \seteqsection {1} \)
\begin{equation} \label {w3} \forall \, T\subset X: \varphi (T)=\varphi (T\cap A)+\varphi (T\setminus A). \end{equation}
Rodzinę wszystkich zbiorów \(\varphi \)-mierzalnych będziemy oznaczać przez \(\frak M_{\varphi }\).
Uwaga 1.6.8 Zauważmy, że dla dowolnych zbiorów \(T\) i \(A\) zachodzi \(T\subset (T\cap A)\cup (T\setminus A)\), a więc z definicji miary zewnętrznej mamy zawsze nierówność
\[ \varphi (T)\leq \varphi (T\cap A)+\varphi (T\setminus A). \]
Aby pokazać, że zbiór \(A\in \frak M_{\varphi }\) wystarczy więc wykazać, że
\( \seteqsection {1} \) \( \seteqnumber {2} \)
\begin{equation} \label {w4} \forall \, T\subset X, \varphi (T)<+\infty : \varphi (T)\geq \varphi (T\cap A)+\varphi (T\setminus A). \end{equation}
Dowód. Punkt \((1)\). Wykażemy następujące fakty.
a) Jeżeli \(A,B\in \frak M_{\varphi }\), to \(A\cup B\in \frak M_{\varphi }\).
Ustalmy dowolny zbiór \(T\subset X\). Mamy
\[ \begin {aligned} &\varphi (T)\stackrel {A\in \frak M_{\varphi }}{=}\varphi (T\cap A)+\varphi (T\setminus A)\\ &\stackrel {B\in \frak M_{\varphi }}{=}\varphi (T\cap A)+\varphi ((T\setminus A)\cap B)+\varphi ((T\setminus A)\setminus B)\\ &=\varphi (T\cap (A\cup B)\cap A)+\varphi (T\cap (A\cup B)\setminus A)+\varphi (T\setminus (A\cup B))\\ &\stackrel {A\in \frak M_{\varphi }}{=}\varphi (T\cap (A\cup B))+\varphi (T\setminus (A\cup B)), \end {aligned} \]
co oznacza, że \(A\cup B\in \frak M_{\varphi }\).
b) Jeżeli \(A\in \frak M_{\varphi }\), to \(A’\in \frak M_{\varphi }\).
Ta własność wynika z faktu, że warunek Carathéodory’ego (1.6.1) można zapisać w formie symetrycznej względem dopełnienia
\[ \forall \, T\subset X: \varphi (T)=\varphi (T\cap A)+\varphi (T\cap A’). \]
c) Jeżeli \(A_j\in \frak M_{\varphi }\), \(j\in \N \), to \(\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\in \frak M_{\varphi }\).
Załóżmy na początek, że \(A,B\in \frak M_{\varphi }\) i \(A\cap B=\emptyset \). Wtedy dla dowolnego zbioru \(T\subset X\) mamy
\[ \varphi (T\cap (A\cup B))=\varphi (T\cap (A\cup B)\cap A)+\varphi (T\cap (A\cup B)\setminus A)=\varphi (T\cap A)+\varphi (T\cap B). \]
Jeżeli \(A_j\), \(j\in \N \) są parami rozłącznymi zbiorami, to na mocy zasady indukcji matematycznej otrzymujemy, że dla każdego \(n\in \N \) zachodzi
\[ \sum _{j=1}^n\varphi (T\cap A_j)=\varphi \left (T\cap \bigcup _{j=1}^nA_j\right )\leq \varphi \left (T\cap \bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right ). \]
Przechodząc z \(n\to \infty \) dostajemy
\[ \sum _{j=1}^{\infty }\varphi (T\cap A_j)\leq \varphi \left (T\cap \bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right ). \]
Ponieważ \(\varphi \) jest miarą zewnętrzną, to
\[ \varphi \left (T\cap \bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right )\leq \sum _{j=1}^{\infty }\varphi (T\cap A_j), \]
z czego wynika, że
\( \seteqsection {1} \) \( \seteqnumber {3} \)
\begin{equation} \label {w5} \varphi \left (T\cap \bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right )= \sum _{j=1}^{\infty }\varphi (T\cap A_j). \end{equation}
Skoro \(\bigcup _{j=1}^{n}A_j\in \frak M_{\varphi }\), to
\[ \varphi (T)=\varphi \left (T\cap \bigcup _{j=1}^nA_j\right )+\varphi \left (T\setminus \bigcup _{j=1}^nA_j\right )\geq \sum _{j=1}^n\varphi \left (T\cap A_j\right )+\varphi \left (T\setminus \bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right ), \]
stąd w granicy \(n\to \infty \) dostajemy
\[ \varphi (T)\geq \sum _{j=1}^{\infty }\varphi \left (T\cap A_j\right )+\varphi \left (T\setminus \bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right )=\varphi \left (T\cap \bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right )+\varphi \left (T\setminus \bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right ), \]
czyli \(\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\in \frak M_{\varphi }\).
Dla dowolnych zbiorów \(A_j\in \frak M_{\varphi }\), \(j\in \N \) możemy ich sumę przedstawić jako sumę zbiorów parami rozłącznych \(\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j=\bigcup _{j=1}^{\infty }B_j\), gdzie
\[ B_1=A_1, \ B_j=A_j\setminus (A_1\cup \dots \cup A_{j-1}), \, j\geq 2. \]
c) \(\emptyset \in \frak M_{\varphi }\).
Dla dowolnego \(T\subset X\) mamy
\[ \varphi (T)=0+\varphi (T)=\varphi (T\cap \emptyset )+\varphi (T\setminus \emptyset ). \]
Punkt \((2)\). Podstawiając do równości (1.6.3) zbiór \(T=X\) dostajemy
\[ \varphi \left (\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right )= \sum _{j=1}^{\infty }\varphi (A_j), \]
a więc \(\varphi |_{\frak M_{\varphi }}\) jest miarą. Pozostaje pokazać, że miara ta jest zupełna. Załóżmy, że \(\varphi (A)=0\). Dla dowolnego \(T\subset X\) mamy \(\varphi (T\cap A)\leq \varphi (A)=0\) i wtedy
\[ \varphi (T)\leq \varphi (T\cap A)+\varphi (T\setminus A)\leq 0+\varphi (T)=\varphi (T), \]
czyli zbiór \(A\) spełnia warunek Carathéodory’ego i \(A\in \frak M_{\varphi }\).
Definicja 1.6.10 Niech \(\varphi \) będzie miarą zewnętrzną na \(X\), a \(\frak M_{\varphi }\) \(\sigma \)-algebrą zbiorów
\(\varphi \)-mierzalnych. Mówimy, że miara zewnętrzna \(\varphi \) jest miarą zewnętrzną regularną, gdy
\[ \forall \, Y\subset X\ \exists \, A\in \frak M_{\varphi }: Y\subset A, \varphi (Y)=\varphi (A). \]
Niech \((X,d)\) będzie przestrzenią metryczną, \(Y,Z\subset X\). Odstęp między zbiorami \(Y,Z\) definiujemy jako
\[ \operatorname {dist}(Y,Z)=\inf \left \{d(y,z): y\in Y, z\in Z\right \}. \]
Jeżeli \(Y=\emptyset \) lub \(Z=\emptyset \), to przyjmujemy \(\operatorname {dist}(Y,Z)=+\infty \).
Twierdzenie 1.6.12 Niech \((X,d)\) będzie przestrzenią metryczną i niech \(\varphi \) będzie miarą zewnętrzną na \(X\), a \(\frak M_{\varphi }\) \(\sigma \)-algebrą zbiorów \(\varphi \)-mierzalnych. Jeżeli \(\varphi \) jest miarą zewnętrzną metryczną, to \(\mathcal B(X)\subset \frak M_{\varphi }\).
Dowód. Wystarczy wykazać, że każdy zbiór otwarty jest \(\varphi \)-mierzalny. Niech \(G\in \operatorname {top}X\). Zdefiniujmy zbiory \(G_n=\{x: \operatorname {dist}(x,G’)>\frac 1n\}\), wtedy \(\operatorname {dist}(G_n,G’)\geq \frac 1n>0\), \(n\in \N \). Niech \(D_n=\{x: \frac {1}{n+1}<\operatorname {dist}(x,G’)\leq \frac 1n \}\), wtedy \(\operatorname {dist}(D_i,D_j)\geq \frac {1}{i+1}-\frac {1}{j}\) dla \(i+2\leq j\). Zauważmy, że skoro \(G\) jest zbiorem otwartym to \(G=\{x: \operatorname {dist}(x,G’)>0\}\) i wtedy
\( \seteqsection {1} \) \( \seteqnumber {4} \)
\begin{equation} \label {w6} G\setminus G_n=\bigcup _{j=n}^{\infty }D_j, \ n\in \N . \end{equation}
Aby pokazać, że \(G\) jest \(\varphi \)-mierzalny wystarczy wykazać warunek (1.6.2)
\[ \forall \, T\subset X, \varphi (T)<+\infty : \varphi (T)\geq \varphi (T\cap G)+\varphi (T\setminus G). \]
Weźmy dowolny zbiór \(T\subset X\), \(\varphi (T)<+\infty \), wtedy korzystając z metryczności \(\varphi \) otrzymujemy
\[ \varphi (T\cap D_1)+\varphi (T\cap D_3)+\dots +\varphi (T\cap D_{2n-1})=\varphi (T\cap (D_1\cup \dots \cup D_{2n-1}))\leq \varphi (T). \]
Podobnie można dostać
\[ \varphi (T\cap D_2)+\varphi (T\cap D_4)+\dots +\varphi (T\cap D_{2n})=\varphi (T\cap (D_2\cup \dots \cup D_{2n}))\leq \varphi (T), \]
z czego wynika, że \(\sum _{j=1}^{\infty }\varphi (T\cap D_j)\leq 2\varphi (T)<+\infty \). Korzystając z warunku (1.6.4) otrzymujemy
\[ \varphi (T\cap (G\setminus G_n))\leq \sum _{j=n}^{\infty }\varphi (T\cap D_j)\to 0, \ n\to \infty . \]
Ponieważ \(\operatorname {dist}(G_n,G’)>0\), to również \(\operatorname {dist}(G_n\cap T,G’\cap T)>0\) a wtedy dostajemy
\[ \begin {aligned} &\varphi (T\cap G)+\varphi (T\setminus G)\leq \varphi (T\cap (G\setminus G_n))+\varphi (T\cap G_n)+\varphi (T\setminus G)\\ &\leq \varphi (T\cap (G\setminus G_n))+\varphi (T)\to 0+\varphi (T)=\varphi (T), \ n\to \infty . \end {aligned} \]
4 Constantin Carathéodory (1873-1950) – grecki matematyk i fizyk.