Definicja 1.6.1 Niech X będzie zbiorem niepustym. Funkcję \varphi :\mathcal P(X)\to [0,+\infty ] nazywamy miarą zewnętrzną na X, gdy spełnia poniższe warunki:
1. \varphi (\emptyset )=0;
2. \forall \, A\subset B\subset X: \varphi (A)\leq \varphi (B);
3. \forall \, A_j\subset X, j\in \N : \varphi \left (\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right )\leq \sum _{j=1}^{\infty }\varphi (A_j).
Ćwiczenie 1.6.2 Wykazać, że \varphi jest miarą zewnętrzną wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek (1) w Definicji 1.6.1 oraz
\forall \,A,A_j\subset X, j\in \N : \left ( A\subset \bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\Rightarrow \varphi \left (A\right )\leq \sum _{j=1}^{\infty }\varphi (A_j)\right ).
Przykład 1.6.3 Przykłady miar zewnętrznych.
1. Każda miara określona na \mathcal P(X) jest miarą zewnętrzną.
2. Funkcja \varphi :\mathcal P(X)\to [0,+\infty ] określona wzorem
\varphi (A)=\left \{ \begin {array}{ll} 0, & A=\emptyset ; \\ 1, & A\neq \emptyset \end {array} \right .
jest miarą zewnętrzną.
3. Funkcja \varphi :\mathcal P(\R )\to [0,+\infty ] określona wzorem
\varphi (A)=\left \{ \begin {array}{ll} 0, & \# A\leq \aleph _0; \\ 1, & \# A>\aleph _0 \end {array} \right .
jest miarą zewnętrzną.
4. Funkcja \varphi :\mathcal P(\R )\to [0,+\infty ] określona wzorem
\varphi (A)=\left \{ \begin {array}{lll} 0, & \# A\leq \aleph _0; \\ \frac 12, & \# A, \# A’>\aleph _0;\\ 1, & \# A’\leq \aleph _0 \end {array} \right .
jest miarą zewnętrzną.
Ćwiczenie 1.6.4 Czy funkcja \varphi (A)=\operatorname {diam}(A) jest miarą zewnętrzną na \mathcal P(\R ^n)?
Obserwacja 1.6.5 Niech \mathcal A\subset \mathcal P(X) będzie dowolną rodziną zbiorów taką, że \emptyset \in \mathcal A, a \alpha :\mathcal A\to [0,+\infty ] będzie dowolną funkcją taką, że \alpha (\emptyset )=0. Wtedy funkcja
\varphi _{\alpha }(A):=\inf \left \{\sum _{j=1}^{\infty }\alpha (A_j): A_j\in \mathcal A, j\in \N , A\subset \bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right \}, \ A\subset X,
jest miarą zewnętrzną na X.
Dowód. Sprawdzimy trzy warunki z Definicji 1.6.1.
1. Jest oczywiste, że \varphi _{\alpha }(\emptyset )=0.
2. Jeżeli A\subset B\subset X, to każde pokrycie zbioru B jest również pokryciem zbioru A, z czego wynika, że obliczając wartość \varphi _{\alpha }(A) bierzemy infimum po większej rodzinie zbiorów niż obliczając wartość \varphi _{\alpha }(B). Z tego wynika, że \varphi _{\alpha }(A)\leq \varphi _{\alpha }(B).
3. Niech A_j\in \mathcal P(X), j\in \N , będą dowolnymi zbiorami. Bez straty ogólności możemy założyć, że \sum _{j=1}^{\infty }\varphi _{\alpha }(A_j)<+\infty . Ustalmy dowolne \epsilon >0. Wtedy dla dowolnego j\in \N istnieje pokrycie B_{jk}\in \mathcal A zbioru A_j, A_j\subset \bigcup _{k=1}^{\infty }B_{jk} takie, że \sum _{k=1}^{\infty }\alpha (B_{jk})\leq \varphi _{\alpha }(A_j)+2^{-j}\epsilon . Wtedy \bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\subset \bigcup _{j=1}^{\infty }\bigcup _{k=1}^{\infty }B_{jk} oraz
\varphi _{\alpha }\left (\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right )\leq \sum _{j=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }\alpha (B_{jk})\leq \sum _{j=1}^{\infty }(\varphi _{\alpha }(A_j)+2^{-j}\epsilon )=\sum _{j=1}^{\infty }\varphi _{\alpha }(A_j)+\epsilon .
Z dowolności \epsilon >0 dostajemy tezę.
Ćwiczenie 1.6.6 Czy zawsze musi zachodzić równość \varphi _{\alpha }(A)=\alpha (A) dla A\in \mathcal A?
Definicja 1.6.7 (Konstrukcja Carathéodory’ego) Niech \varphi :\mathcal P(X)\to [0,+\infty ] będzie miarą zewnętrzną. Zbiór A nazywamy mierzalnym względem \varphi w sensie Carathéodory’ego4 (\varphi -mierzalnym), gdy spełnia warunek Carathéodory’ego:
\seteqsection {1}
\begin{equation} \label {w3} \forall \, T\subset X: \varphi (T)=\varphi (T\cap A)+\varphi (T\setminus A). \end{equation}
Rodzinę wszystkich zbiorów \varphi -mierzalnych będziemy oznaczać przez \frak M_{\varphi }.
Uwaga 1.6.8 Zauważmy, że dla dowolnych zbiorów T i A zachodzi T\subset (T\cap A)\cup (T\setminus A), a więc z definicji miary zewnętrznej mamy zawsze nierówność
\varphi (T)\leq \varphi (T\cap A)+\varphi (T\setminus A).
Aby pokazać, że zbiór A\in \frak M_{\varphi } wystarczy więc wykazać, że
\seteqsection {1} \seteqnumber {2}
\begin{equation} \label {w4} \forall \, T\subset X, \varphi (T)<+\infty : \varphi (T)\geq \varphi (T\cap A)+\varphi (T\setminus A). \end{equation}
Dowód. Punkt (1). Wykażemy następujące fakty.
a) Jeżeli A,B\in \frak M_{\varphi }, to A\cup B\in \frak M_{\varphi }.
Ustalmy dowolny zbiór T\subset X. Mamy
\begin {aligned} &\varphi (T)\stackrel {A\in \frak M_{\varphi }}{=}\varphi (T\cap A)+\varphi (T\setminus A)\\ &\stackrel {B\in \frak M_{\varphi }}{=}\varphi (T\cap A)+\varphi ((T\setminus A)\cap B)+\varphi ((T\setminus A)\setminus B)\\ &=\varphi (T\cap (A\cup B)\cap A)+\varphi (T\cap (A\cup B)\setminus A)+\varphi (T\setminus (A\cup B))\\ &\stackrel {A\in \frak M_{\varphi }}{=}\varphi (T\cap (A\cup B))+\varphi (T\setminus (A\cup B)), \end {aligned}
co oznacza, że A\cup B\in \frak M_{\varphi }.
b) Jeżeli A\in \frak M_{\varphi }, to A’\in \frak M_{\varphi }.
Ta własność wynika z faktu, że warunek Carathéodory’ego (1.6.1) można zapisać w formie symetrycznej względem dopełnienia
\forall \, T\subset X: \varphi (T)=\varphi (T\cap A)+\varphi (T\cap A’).
c) Jeżeli A_j\in \frak M_{\varphi }, j\in \N , to \bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\in \frak M_{\varphi }.
Załóżmy na początek, że A,B\in \frak M_{\varphi } i A\cap B=\emptyset . Wtedy dla dowolnego zbioru T\subset X mamy
\varphi (T\cap (A\cup B))=\varphi (T\cap (A\cup B)\cap A)+\varphi (T\cap (A\cup B)\setminus A)=\varphi (T\cap A)+\varphi (T\cap B).
Jeżeli A_j, j\in \N są parami rozłącznymi zbiorami, to na mocy zasady indukcji matematycznej otrzymujemy, że dla każdego n\in \N zachodzi
\sum _{j=1}^n\varphi (T\cap A_j)=\varphi \left (T\cap \bigcup _{j=1}^nA_j\right )\leq \varphi \left (T\cap \bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right ).
Przechodząc z n\to \infty dostajemy
\sum _{j=1}^{\infty }\varphi (T\cap A_j)\leq \varphi \left (T\cap \bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right ).
Ponieważ \varphi jest miarą zewnętrzną, to
\varphi \left (T\cap \bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right )\leq \sum _{j=1}^{\infty }\varphi (T\cap A_j),
z czego wynika, że
\seteqsection {1} \seteqnumber {3}
\begin{equation} \label {w5} \varphi \left (T\cap \bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right )= \sum _{j=1}^{\infty }\varphi (T\cap A_j). \end{equation}
Skoro \bigcup _{j=1}^{n}A_j\in \frak M_{\varphi }, to
\varphi (T)=\varphi \left (T\cap \bigcup _{j=1}^nA_j\right )+\varphi \left (T\setminus \bigcup _{j=1}^nA_j\right )\geq \sum _{j=1}^n\varphi \left (T\cap A_j\right )+\varphi \left (T\setminus \bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right ),
stąd w granicy n\to \infty dostajemy
\varphi (T)\geq \sum _{j=1}^{\infty }\varphi \left (T\cap A_j\right )+\varphi \left (T\setminus \bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right )=\varphi \left (T\cap \bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right )+\varphi \left (T\setminus \bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right ),
czyli \bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\in \frak M_{\varphi }.
Dla dowolnych zbiorów A_j\in \frak M_{\varphi }, j\in \N możemy ich sumę przedstawić jako sumę zbiorów parami rozłącznych \bigcup _{j=1}^{\infty }A_j=\bigcup _{j=1}^{\infty }B_j, gdzie
B_1=A_1, \ B_j=A_j\setminus (A_1\cup \dots \cup A_{j-1}), \, j\geq 2.
c) \emptyset \in \frak M_{\varphi }.
Dla dowolnego T\subset X mamy
\varphi (T)=0+\varphi (T)=\varphi (T\cap \emptyset )+\varphi (T\setminus \emptyset ).
Punkt (2). Podstawiając do równości (1.6.3) zbiór T=X dostajemy
\varphi \left (\bigcup _{j=1}^{\infty }A_j\right )= \sum _{j=1}^{\infty }\varphi (A_j),
a więc \varphi |_{\frak M_{\varphi }} jest miarą. Pozostaje pokazać, że miara ta jest zupełna. Załóżmy, że \varphi (A)=0. Dla dowolnego T\subset X mamy \varphi (T\cap A)\leq \varphi (A)=0 i wtedy
\varphi (T)\leq \varphi (T\cap A)+\varphi (T\setminus A)\leq 0+\varphi (T)=\varphi (T),
czyli zbiór A spełnia warunek Carathéodory’ego i A\in \frak M_{\varphi }.
Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną, Y,Z\subset X. Odstęp między zbiorami Y,Z definiujemy jako
\operatorname {dist}(Y,Z)=\inf \left \{d(y,z): y\in Y, z\in Z\right \}.
Jeżeli Y=\emptyset lub Z=\emptyset , to przyjmujemy \operatorname {dist}(Y,Z)=+\infty .
Twierdzenie 1.6.12 Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną i niech \varphi będzie miarą zewnętrzną na X, a \frak M_{\varphi } \sigma -algebrą zbiorów \varphi -mierzalnych. Jeżeli \varphi jest miarą zewnętrzną metryczną, to \mathcal B(X)\subset \frak M_{\varphi }.
Dowód. Wystarczy wykazać, że każdy zbiór otwarty jest \varphi -mierzalny. Niech G\in \operatorname {top}X. Zdefiniujmy zbiory G_n=\{x: \operatorname {dist}(x,G’)>\frac 1n\}, wtedy \operatorname {dist}(G_n,G’)\geq \frac 1n>0, n\in \N . Niech D_n=\{x: \frac {1}{n+1}<\operatorname {dist}(x,G’)\leq \frac 1n \}, wtedy \operatorname {dist}(D_i,D_j)\geq \frac {1}{i+1}-\frac {1}{j} dla i+2\leq j. Zauważmy, że skoro G jest zbiorem otwartym to G=\{x: \operatorname {dist}(x,G’)>0\} i wtedy
\seteqsection {1} \seteqnumber {4}
\begin{equation} \label {w6} G\setminus G_n=\bigcup _{j=n}^{\infty }D_j, \ n\in \N . \end{equation}
Aby pokazać, że G jest \varphi -mierzalny wystarczy wykazać warunek (1.6.2)
\forall \, T\subset X, \varphi (T)<+\infty : \varphi (T)\geq \varphi (T\cap G)+\varphi (T\setminus G).
Weźmy dowolny zbiór T\subset X, \varphi (T)<+\infty , wtedy korzystając z metryczności \varphi otrzymujemy
\varphi (T\cap D_1)+\varphi (T\cap D_3)+\dots +\varphi (T\cap D_{2n-1})=\varphi (T\cap (D_1\cup \dots \cup D_{2n-1}))\leq \varphi (T).
Podobnie można dostać
\varphi (T\cap D_2)+\varphi (T\cap D_4)+\dots +\varphi (T\cap D_{2n})=\varphi (T\cap (D_2\cup \dots \cup D_{2n}))\leq \varphi (T),
z czego wynika, że \sum _{j=1}^{\infty }\varphi (T\cap D_j)\leq 2\varphi (T)<+\infty . Korzystając z warunku (1.6.4) otrzymujemy
\varphi (T\cap (G\setminus G_n))\leq \sum _{j=n}^{\infty }\varphi (T\cap D_j)\to 0, \ n\to \infty .
Ponieważ \operatorname {dist}(G_n,G’)>0, to również \operatorname {dist}(G_n\cap T,G’\cap T)>0 a wtedy dostajemy
\begin {aligned} &\varphi (T\cap G)+\varphi (T\setminus G)\leq \varphi (T\cap (G\setminus G_n))+\varphi (T\cap G_n)+\varphi (T\setminus G)\\ &\leq \varphi (T\cap (G\setminus G_n))+\varphi (T)\to 0+\varphi (T)=\varphi (T), \ n\to \infty . \end {aligned}
4 Constantin Carathéodory (1873-1950) – grecki matematyk i fizyk.