Niech będą dane dwie przestrzenie probabilistyczne \((\Omega _1,\Sigma _1,P_1)\) oraz \((\Omega _2,\Sigma _2,P_2)\). Niech
\[ \Omega = \Omega _1 \times \Omega _2 = \{(\omega _1,\omega _2): \omega _1 \in \Omega _1, \o _2 \in \Omega _2\}. \]
Można teraz zbudować \(\sigma \)-algebrę \(\Sigma \) na zbiorze \(\Omega \) oraz miarę probabilistyczną \(P\colon \Sigma \str \r \). Jako \(\Sigma \) bierze się najmniejszą \(\sigma \)-algebrę zawierającą wszystkie iloczyny kartezjańskie \(A_1 \times A_2\), gdzie \(A_1 \in \Sigma _1\) i \(A_2 \in \Sigma _2\):
\[ \Sigma = \sigma (\{A_1\times A_2: A_1 \in \Sigma _1, A_2 \in \Sigma _2\}). \]
Dowodzi się: Istnieje dokładnie jedna miara \(P\) spełniająca warunek: dla każdych dwóch zdarzeń \(A_1 \in \Sigma _1\) i \(A_2 \in \Sigma _2\)
\[ P(A_1 \times A_2) = P_1(A_1) P_2(A_2). \]
Stosujemy często następujące oznaczenia:
\(\Sigma = \Sigma _1\times \Sigma _2 = \Sigma _1\otimes \Sigma _2\) \(P = P_1 \times P_2 = P_1 \otimes P_2\).Oznaczenie \(\times \) stanowi kolizję z podobnymi oznaczeniami stosowanymi w teorii mnogości, lecz jest często stosowane.
Definicja – 3.8 Trójkę (Ω, Σ, P ) skonstruowaną powyżej nazywamy iloczynem kartezjańskim przestrzeni \((\Omega _1,\Sigma _1,P_1)\) oraz \((\Omega _2,\Sigma _2,P_2)\).
Uwaga – 3.9 Niech (Ω, Σ, P ) będzie iloczynem kartezjańskim przestrzeni
\((\Omega _1,\Sigma _1,P_1)\) oraz \((\Omega _2,\Sigma _2,P_2)\). Niech \(A_1 \in \Sigma _1\), \(A_2 \in \Sigma _2\). Zdefiniujmy:
\(Z_1 = A_1 \times \Omega _2\), \(Z_2 = \Omega _1 \times A_2\).
Wtedy \(Z_1\), \(Z_2\) są niezależne.
Dowód. \(P(Z_1 \cap Z_2) = P((A_1 \times \Omega _2)\cap (\Omega _1 \times A_2) ) = P(A_1 \times A_2) = P_1(A_1) P_2(A_2) = P_1(A_1) P_2(\Omega _2) P_1(\Omega _1) P_2(A_2) = P(A_1 \times \Omega _2) P(\Omega _1 \times A_2) = P(Z_1)P(Z_2)\). \(\Box \).
Interpretacja. Przypuśćmy, że prowadzimy dwuetapowy eksperyment, przy czym etapy te są niezależne od siebie (np. wykonujemy dwa kolejne rzuty kostką). Załóżmy, że etapy te są opisywane dwiema przestrzeniami probabilistycznymi \((\Omega _1,\Sigma _1,P_1)\) oraz \((\Omega _2,\Sigma _2,P_2)\). Wtedy ich iloczyn kartezjański odpowiada łącznemu opisowi obydwu etapów, przy czym odpowiednikiem zdarzenia \(A_1\) jest w nowej przestrzeni zdarzenie \(Z_1\), a zdarzenia \(A_2\) zdarzenie \(Z_2\).
Można zdefiniować iloczyn kartezjański skończonej liczby przestrzeni probabilistycznych.
Sposób 1. Wykorzystać zwykłą procedurę indukcyjną (ćwiczenie).
Sposób 2. Powtórzyć poprzednią definicję dla ustalonej liczby przestrzeni \(n\) (ćwiczenie). Można udowodnić, że obydwie procedury dają faktycznie tę samą przestrzeń.
Uwaga – 3.10 Niech (Ω, Σ, P ) będzie iloczynem kartezjańskim przestrzeni \((\Omega _1,\Sigma _1,P_1)\), …, \((\Omega _n,\Sigma _n,P_n)\). Niech \(A_i \in \Sigma _i\), \(i = 1,\dots ,
n\). Zdefiniujmy zbiory:
\(Z_i = \{(\o _1,\dots ,\o _n) \in \Omega : \o _i \in A_i\}\), dla \(i = 1,\dots , n\).
Wtedy \(Z_1\), …\(Z_n\) są niezależne.
Dowód. (ćwiczenie).
Gdy \((\Omega _1,\Sigma _1,P_1) = \dots = (\Omega _n,\Sigma _n,P_n) \) = (Ω, Σ, P ) , często oznaczmy iloczyn kartezjański tych przestrzeni symbolem: \((\Omega ^n, \Sigma ^n, P^n)\).