Rachunek prawdopodobieństwa 1, 2
\(\newcommand{\footnotename}{footnote}\)
\(\def \LWRfootnote {1}\)
\(\newcommand {\footnote }[2][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\)
\(\newcommand {\footnotemark }[1][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\)
\(\newcommand \ensuremath [1]{#1}\)
\(\newcommand {\LWRframebox }[2][]{\fbox {#2}} \newcommand {\framebox }[1][]{\LWRframebox } \)
\(\newcommand {\setlength }[2]{}\)
\(\newcommand {\addtolength }[2]{}\)
\(\newcommand {\setcounter }[2]{}\)
\(\newcommand {\addtocounter }[2]{}\)
\(\newcommand {\cline }[1]{}\)
\(\newcommand {\directlua }[1]{\text {(directlua)}}\)
\(\newcommand {\luatexdirectlua }[1]{\text {(directlua)}}\)
\(\newcommand {\protect }{}\)
\(\def \LWRabsorbnumber #1 {}\)
\(\def \LWRabsorbquotenumber "#1 {}\)
\(\def \mathchar {\ifnextchar "\LWRabsorbquotenumber \LWRabsorbnumber }\)
\(\def \mathcode #1={\mathchar }\)
\(\let \delcode \mathcode \)
\(\let \delimiter \mathchar \)
\(\let \LWRref \ref \)
\(\renewcommand {\ref }{\ifstar \LWRref \LWRref }\)
\(\newcommand {\intertext }[1]{\text {#1}\notag \\}\)
\(\newcommand {\ep }{\varepsilon }\)
\(\newcommand {\ve }{\varepsilon }\)
\(\newcommand {\s }{\sigma }\)
\(\newcommand {\o }{\omega }\)
\(\newcommand {\f }{\varphi }\)
\(\newcommand {\vr }{\varrho }\)
\(\newcommand {\a }{\mathcal {A}}\)
\(\newcommand {\h }{\mathcal {H}}\)
\(\newcommand {\b }{\mathcal {B}}\)
\(\newcommand {\G } {\mathbb {G}}\)
\(\newcommand {\r } {\mathbb {R}}\)
\(\newcommand {\rn } {\mathbb {R}^n}\)
\(\newcommand {\Z } {\mathbb {Z}}\)
\(\newcommand {\z } {\mathbb {Z}}\)
\(\newcommand {\N } {\mathbb {N}}\)
\(\newcommand {\C } {\mathbb {C}}\)
\(\newcommand {\K } {\mathbb {K}}\)
\(\newcommand {\Q } {\mathbb {Q}}\)
\(\newcommand {\bx }{\mathbf {x}}\)
\(\newcommand {\by }{\mathbf {y}}\)
\(\newcommand {\bY }{\mathbf {Y}}\)
\(\newcommand {\p }{\mathbf {p}}\)
\(\newcommand {\P }{\mathbf {P}}\)
\(\let \leq \leqslant \)
\(\let \le \leqslant \)
\(\newcommand {\O }{\emptyset }\)
\(\newcommand {\imp }{\Longrightarrow }\)
\(\newcommand {\str }{\longrightarrow }\)
\(\newcommand {\rwn }{\Longleftrightarrow }\)
\(\newcommand {\di }{\displaystyle }\)
19.5 Liczby pseudo-losowe z rozkładu normalnego
W wielu sytuacjach używamy liczb pseudo-losowych z rozkładu normalnego jedno i wielowymiarowego. Jak wiemy już, przykład 12.4, w przypadku rozkładu ciągłego, a takim rozkładem
jest \(N(m,\s )\) można je otrzymywać generując liczby pseudo-losowe \(u_1,u_2,u_3,...\) z rozkładu \(U(0,1)\) i biorąc \(\Phi _{m,\s }^{-1}(u_1), \Phi _{m,\s }^{-1}(u_2), \Phi _{m,\s }^{-1}(u_3),...\). Można
też brać liczny \(z_i = \Phi ^{-1}(u_i)\) z rozkładu \(N(0,1)\) oraz \(x_i = m + \s z_i\), \(i = 1,2,3, ...\). Obydwa sposoby wymagają jednak wyznaczania wartości \(\Phi ^{-1}\), co jest numerycznie dość uciążliwym
zadaniem. Istnieją jednak szybsze metody. Opiszemy jedną z nich.
Metoda Boxa-Mullera
Losujemy niezależnie od siebie dwie liczby \(u_1\), \(u_2\) z rozkładu \(U(0,1)\) i obliczamy
\[z_1 = \sqrt { -2\ln u_1}\cos (2\pi u_2), \ \ z_2 = \sqrt { -2\ln u_1}\sin (2\pi u_2).\]
Liczby \(z_1, z_2\) reprezentują dwie niezależne zmienne losowe o rozkładach \(N(0,1)\).
Niech \(Z = h(g(U))\), przy czym \(P_U = U([0,1]^2)\) (więc \(f_U = I_{[0,1]^2}\)) oraz określamy \(g(u_1,u_2) = (\sqrt {- 2 \ln u_1}, 2\pi u_2)\), \(h(r,\theta ) = (r\cos \theta , r \sin \theta )\).
Mamy kolejno:
\[f_{g(U)}(w) = |Jac_w g^{-1}|f_U(g^{-1}(w)) = \frac {1}{2\pi }e^{-\frac 12 w_1^2 }w_1, \ \ w_1 > 0, \ 0 <w_2 < 2\pi .\]
\[f_Z(z) = f_{h(g(U))}(z) = |Jac_z h^{-1}|f_{g(U)}(h^{-1}(z)) = \frac {1}{\sqrt {z_1^2+z_2^2}} \frac {1}{2\pi }e^{-\frac 12 (z_1^2+z_2^2) }\sqrt {z_1^2+z_2^2}.\]
\[ f_Z(z) = \frac {1}{2\pi }e^{-\frac 12 (z_1^2+z_2^2) }. \]
\(X\) ma więc rozkład \(N_2(0,I_2)\), gdzie \(I_2\) jest macierzą identycznościową. Więc \(Z_1\) oraz \(Z_2\) są niezależne i mają rozkłady normalne \(N(0,1)\). \(\Box \)
Mając do dyspozycji ciąg o długości \(d\) liczb pseudo-losowych \(z_1,...,z_d\) z rozkładu \(N(0,1)\) wiemy, że stanowi on wektor pseudo-losowy \(z\) z rozkładu \(N_d(0,I_d)\). Wtedy też \(x = \mu +\Sigma ^{\frac
12}z\) jest wektorem pseudo-losowym z rozkładu \(N_d(\mu ,\Sigma )\).
