Zaczynamy od podania definicji przestrzeni probabilistycznej zaproponowanej prawie sto lat temu i obecnie najczęściej używanej.
Definicja – 2.1 (Kołmogorow) Niech będą dane: niepusty zbiór \(\Omega \), pewna rodzina \(\Sigma \) podzbiorów zbioru \(\Omega \) i funkcja \(P\colon \Sigma \str \r \). Trójkę \((\Omega ,\Sigma ,P)\) nazywamy przestrzenią probabilistyczną, gdy zachodzą następujące warunki:
1. \(\Omega \in \Sigma ,\)
2. jeżeli zbiory \(A_1,A_2,A_3,\dots \in \Sigma \), to \(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_i \in \Sigma \),
3. jeżeli \(A,B \in \Sigma \), to \(A\setminus B \in \Sigma \),
4. jeżeli \(A \in \Sigma \), to \(P(A) \ge 0\),
5. jeżeli zbiory \(A_1,A_2,A_3,\dots \in \Sigma \) są parami rozłączne, to:
\[P(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_i) = \sum _{i=1}^{\infty }P(A_i),\]
6. \(P(\Omega ) = 1\).
Terminologia
Rodzina \(\Sigma \) spełniająca warunki 1 - 3 – \(\sigma \)-algebra,
Funkcja \(P\) spełniająca warunki 4, 5 – miara,
Funkcja \(P\) spełniająca warunki 4 - 6 – miara probabilistyczna,
\(\o \in \Omega \) – zdarzenie elementarne,
\(A \in \Sigma \) – zdarzenie,
\(\Omega \setminus A \) – zdarzenie przeciwne do \(A\),
\(P(A)\) – prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\),
Uwaga. Nie zawsze \(\{\o \} \in \Sigma \), czyli zdarzenia elementarne nie muszą być zdarzeniami!
Przykład – 2.2 Rzut kostką. Informacja: czy wypadnie „6"(TAK/NIE).
\(\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\), \(\Sigma = \{\emptyset , \{1,2,3,4,5\}, \{6\}, \Omega \}\), \(P(A) = \frac {\sharp A}{6}\).
Podstawowe własności:
1. \(\O \in \Sigma \).
bo \(\O = \Omega \setminus \Omega \).
2. Jeżeli zbiory \(A_1,A_2,A_3,\dots \in \Sigma , \) to \(\bigcap _{i=1}^{\infty }A_i \in \Sigma \),
bo prawa de Morgana.
3. \(\di P(\O )=0\).
bo \(\di P(\O ) = P(\bigcup _{i=1}^\infty \O ) = \sum _{i=1}^\infty P(\O )\).
4. Jeżeli zbiory \(A_1,A_2,A_3,\dots , A_n \in \Sigma \) oraz \(A_{i}\cap A_{j} = \O \) dla \(i\neq j\), to: \(\di P(\bigcup _{i=1}^{n}A_i) = \sum _{i=1}^{n}P(A_i)\).
bo \(\di P(\bigcup _{i=1}^{n}A_i) = P(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_i)\), gdzie \(A_i = \O \) dla \(i > n\).
5. Jeżeli \(A\) i \(B\) są takimi zdarzeniami, że \(A\subset B,\) to:
\[ P(B)=P(A)+P(B\setminus A),\]
bo \(B = A \cup (B\setminus A)\).
6. Dla każdego zdarzenia \(A\):
\[ P(\Omega \backslash A)=1-P(A),\]
7. Jeżeli \(A\) i \(B\) są takimi zdarzeniami, że \(A\subset B\), to:
\[P(A)\le P(B),\]
8. Dla dowolnych zdarzeń \(A\) i \(B\):
\[P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B),\]
bo \(A\cup B = (A\setminus B) \cup (B \setminus A) \cup (A\cap B)\) – suma zbiorów rozłącznych.
Własności ciągów zdarzeń:
1. Dla dowolnych zdarzeń \(A_1, A_2, A_3, \dots \):
\[P(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_i) \le \sum _{i=1}^{\infty }P(A_i),\]
bo \(\di \bigcup _{i=1}^{\infty }A_i = \bigcup _{i=1}^{\infty }B_i\) – suma zbiorów rozłącznych, gdzie
\(B_1 = A_1\), \(B_2 = A_2 \setminus A_1\), \(B_3 = A_3 \setminus (A_1 \cup A_2)\), ….
2. Jeżeli \(P(A_i) = 0\), \(i = 1, \dots n\), \(n \le \infty \), to \(\di P(\bigcup _{i=1}^{n}A_i) = 0\).
3. Jeżeli \(P(A_i) = 1\), \(i = 1, \dots n\), \(n \le \infty \), to \(\di P(\bigcap _{i=1}^{n}A_i) =1 \).
bo Prawo de Morgana.
Twierdzenie – 2.3 (o ciągu zdarzeń wstępujących) Jeżeli \(A_{1}\subset A_{2} \subset A_3 \subset \dots ,\) to:
\[\lim _{n \rightarrow \infty } P(A_n) =P(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_n),\]
Dowód. \(\di P(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_n) = P(\bigcup _{n=1}^{\infty }(A_n \setminus A_{n-1})) = \sum _{n=1}^\infty P(A_n \setminus A_{n-1}) = \lim _{N \to \infty } \sum _{n=1}^N P(A_n \setminus A_{n-1}) = \lim _{N \to \infty } P(A_N)\). Tutaj \(A_0 = \O \). \(\Box \)
Twierdzenie – 2.4 (o ciągu zdarzeń zstępujących) Jeżeli \(A_{1}\supset A_{2}\supset A_3\supset \dots \), to:
\[\lim _{n \rightarrow \infty } P(A_n) =P(\bigcap _{n=1}^{\infty }A_n).\]
Dowód. Prawa de Morgana. \(\Box \)