Pytanie 7.1 Wykaż, że dla zmiennej losowej \(X\) mającej skończoną nadzieję matematyczną \(m\) i dla każdego dodatniego \(\ve > 0\)
\[ P(|X| \ge \ve ) \le \frac {E(|X|)}{\ve } \]
Wskazówka. Pierwsza część Nierówności Czebyszewa zastosowana do \(|X|\).
Pytanie 7.2 Niech \(m = E(X)\), \(\s ^2 = D^2(X)\), \(a < m < b\). Oszacuj z góry \(P(X \le a)\) i z dołu \(P(X < b)\).
Wskazówka. \(\frac {\s ^2}{(m-a)^2}\). \(1 -\frac {\s ^2}{(b-m)^2}\).
Pytanie 7.3 Niech \(X\) ma rozkład o gęstości \(f\): \(f(x) = 0\) dla \(x < 0\) oraz \(f(x) = e^{-x}\) dla \(x \ge 0\). Dla \(\ve > 0\) oblicz \(P(X \ge \ve )\) i porównaj otrzymany wynik z oszacowaniem wynikającym z Nierówności Czebyszewa.
Wskazówka. \(E(X) = 1\), \(P(X \ge \ve ) = e^{-\ve } < \frac {1}{\ve }\).
Pytanie 7.4 Sprawdź, że w przypadku rozkładu jednostajnego Reguła \(3\sigma \) się trywializuje.
Wskazówka. Gdy \(P_X = U(a,b)\), to \(3\s = \sqrt {3}\frac {b-a}{2}\) i przedział \((a,b) \subset (m - 3\s ,m+3\s )\).
Pytanie 7.5 Niech \(f :[0,1] \to \r \) będzie funkcją ciągłą, \(X_1,X_2,X_3, ...\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie \(B(1,p)\) każda, \(S_n = X_1 + ... +X_n\). Wykaż, że
\[ \lim _{n \to \infty }E\left (f\left (\frac {S_n}{n}\right ) - f(p)\right ) = 0, \]
przy czym zbieżność ta jest jednostajna względem \(p\).
Wskazówka. Niech \(K = \sup |f|\). Ustalmy \(\eta >0\), \(\ve > 0\).
Niech \(\Omega _1 = \{|\frac {S_n}{n} - p| < \ve \}\), \(\Omega _2 = \{|\frac {S_n}{n} - p| \ge \ve \}\) będzie rozkładem \(\Omega \).
\[ \left |E\left (f\left (\frac {S_n}{n}\right ) - f(p)\right )\right | = \left |\int _\Omega f\left (\frac {S_n}{n}\right ) - f(p)\,dP\right | \le \int _\Omega \left |f\left (\frac {S_n}{n}\right ) - f(p)\right |\,dP \le \]
\[ \int _{\Omega _1}\left |f\left (\frac {S_n}{n}\right ) - f(p)\right |\,dP + \int _{\Omega _2}\left |f\left (\frac {S_n}{n}\right ) - f(p)\right |\,dP \le \]
\[ \sup _{|x| \le \ve }\{|f(p+x) - f(p)|\} + 2KP\left (| \frac {S_n}{n} - p| \ge \ve \right ). \]
Ponieważ \(f\) jest jednostajnie ciągła, to pierwszy składnik jest mniejszy od \(\eta /2\) dla dostatecznie małego \(\ve \), natomiast drugi składnik na podstawie Nierówności Czebyszewa zmierza do do 0.
Pytanie 7.6 Wskaż ciąg wielomianów, które jednostajnie aproksymują daną funkcję ciągłą \(f\) na przedziale \([0,1]\).
Wskazówka. \(\di W_n(x) = \sum _{k=0}^nf\left (\frac {k}{n}\right )\binom {n}{k}x^k(1-x)^{n-k}\).