Pytanie 15.1 Niech \(a > 0\). Określamy: \(X_0 = 1\). Gdy znamy już punkt \(X_n\), określamy \(X_{n+1}\) jako liczbę wylosowaną zgodnie z rozkładem \(U(0,aX_n)\). Dla jakich \(a\) powyższy ciąg jest martyngałem, podmartyngałem, nadmartyngałem.
Wskazówka. Skoro \(X_{n+1}\) jest wylosowany według rozkładu jednostajnego na określonym przedziale, to jej nadzieja matematyczna jest środkiem tego przedziału. Inaczej
\[E(X_{n+1}|\s (X_1, ...,X_n)) = \frac {aX_n}{2} = \frac {a}{2}X_n.\]
Dla \(a = 2\) mamy martyngał dla \(a <2 \) – supmartymgał, \(a > 2 \) – submartymgał.
Pytanie 15.2 Niech \(X_1.X_2,X_3,..., X_n\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie \(B(1, p )\) każda. Niech \(S_n = X_1 + ... + X_n\).
(a) Wskaż takie rozłączne zbiory \(A_i\) oraz liczbę \(N\), że \(\s (X_1,...,X_n) = \s (A_1,.., A_N)\).
(b) Wykaż, że \(\s (S_n)\varsubsetneq \s (X_1,...,X_n)\) dla \(n = 2\).
(c) Czy \(\s (X_1,...,X_n) = \s (S_1,...,S_n)\)? Odpowiedź uzasadnij.
Wskazówka. Ad (a). Niech \(n = 1\). Biorę \(A_1 = \{X_1=0\}\), \(A_2 = \{X_1=1\}\). Chociaż nie znamy \((\Omega ,\Sigma ,P)\), to widzimy, że \(A_i\) są rozłączne, a także, że \(P(A_1 \cup A_2) = 1\). Oczywiście \(\s (A_1,A_2) \subset \s (X_1)\). Dla dowolnego zbioru borelowskiego \(B \subset \r \) mamy \(X_1^{-1}(B) = X_1^{-1}(B\cap \{0,1\})\) Ten ostatni zbiór jest równy albo zbiorowi pustemu, albo \(A_1\), albo \(A_2\), albo \(\Omega \). Stąd \(\s (X_1) \subset \s (A_1,A_2)\). Dla \(n = 2\) mamy cztery zbiory: \(A_1 = \{X_1=0,X_2 = 0\}\), \(A_2 = \{X_1=0,X_2 = 1\}\), \(A_3 = \{X_1=1,X_2 = 0\}\), \(A_4 = \{X_1=1,X_2 = 1\}\). Podobnie dla większych \(n\). Formalnie można napisać. tak. Niech \(N = 2^n\). Dla \(1 \le i \le N\) niech \(\ve _1, ..., \ve _n\) będzie rozwinięciem liczby \(i - 1\) w systemie dwójkowym. Określamy: \(A_i = \{X_1 = \ve _1, ... , X_n = \ve _n\}\).
Ad (b). Ponieważ \(S_n\) jest funkcją borelowską zmiennych \(X_1, ..., X_n\), to zawieranie jest oczywiste. Niech \(n = 2\) i niech \(A = \{X_1 = 0, X_2 = 1\}\). Widzimy, że \(A \in \s (X_1,X_2)\). Natomiast \(\s (S_2) = \s (\{S_2 = 0\}, \{S_2 = 1\}, \{S_2 = 2\})\), więc nie zawiera \(A\) (nie można go przedstawić jako sumę generatorów). Podobnie jest dla większych \(n\).
Ad (c). Wektor \((S_1, ... , S_n)\) jest borelowską funkcją wektora \((X_1, ..., X_n)\). Mamy też równości: \(X_1 = S_1, X_2 = S_2 - S_1, ... , X_n = S_n - S_{n-1}\), więc wektor \((X_1, ..., X_n)\) jest borelowską funkcją \((S_1, ..., S_n)\).
Pytanie 15.3 Wykaż twierdzenie wypowiedziane w Przykładzie 9.43.
Wskazówka. Oznaczmy: \(X_n = E(X|\a _n)\). \(E(X_n) = E(X|\a _n) = E(X) \in \r \). Ponieważ \(\a _n \subset \a _{n+1}\), to \(E(E(X|\a _{n+1})|\a _{n }) = E(X|\a _n)\), więc \(\{E(X|\a _n)\}\) jest martyngałem względem filtracji \(\{\a _n\}\). Dla każdego \(n\) zachodzi więc równość:
\[E(X_{n+1}|\a _n) = X_{n},\]
a ponieważ dla \(i \le n\) \(X_i\) jest \(\a _i\)-mierzalna, więc jest też \(\a _n\)-mierzalna i stąd wektor \((X_1, ..., X_n)\) jest \(\a _n\)-mierzalny. Tak więc \(\s (X_1, ..., X_n) \subset \a _n\) i korzystając z poznanych już własności z powyższej równości otrzymujemy kolejno:
\[E(E(X_{n+1}|\a _n)|\s (X_1, ..., X_n)) = E(X_{n}|\s (X_1, ..., X_n)),\]
\[E(X_{n+1}|\s (X_1, ..., X_n)) = X_{n}.\]
Pytanie 15.4 Czy suma, różnica, iloczyn dwóch momentów stopu względem tej samej filtracji jest momentem stopu? Uzasadnić.
Wskazówka. Suma tak. \(\{\tau _1 + \tau _2 = n\} = \bigcup _{k=1}^{n-1}\{\tau _1 = k,\tau _2 = n - k\} \in \a _n\).
Iloczyn tak. Podobnie jak wyżej: \(\{\tau _1 \cdot \tau _2 = n\}\) jest sumą zbiorów postaci
\(\{\tau _1 = k,\tau _2 = l\}\), gdzie \(kl = n\).
Różnica na ogół nie. Moment stopu ma być większy niż 0.
Pytanie 15.5 Podaj dowód Uwagi 15.16
Wskazówka. \(\{\max (\tau _1,\tau _2) \le n\} = \{\tau _1 \le n\} \cap \{\tau _2 \le n\}\)
\(\{\min (\tau _1,\tau _2) \le n\} = \{\tau _1 \le n\} \cup \{\tau _2 \le n\}\).
Wskazówka. Dowód Uwagi 15.22. Warunek (15.1) oznacza, że ciąg o wyrazach \(E(|X_n|)\) jest ograniczony. Wiemy też, że \(E(|X_n|) = E(X_n^+) + E(X_n^-)\). Ciągi o wyrazach nieujemnych \(E(X_n^+)\) oraz \(E(X_n^-)\) są więc tym bardziej ograniczone. Załóżmy teraz, ze ciąg o wyrazach \(E(X_n^+)\) jest ograniczony i, że mamy do czynienia z submartyngałem. Zachodzą więc nierówności:
\[ E(X_{n+1}|\a _n) \ge X_n \ \mbox { i stÄĚd dla kaÅijdego } n \ E(X_n) = E(X_n^+) - E(X_n^-) \ge E(X_1), \]
czyli \(E(X_n^-) \le E(X_n^+) - E(X_1)\). Stąd
\[ E(|X_n|) = E(X_n^+) + E(X_n^-) \le 2E(X_n^+) - E(X_1). \]
Zachodzi więc warunek (15.1). W przypadku supmartyngału jest podobnie.
Dowód Wniosku 15.23. Skoro \(X_n \ge 0\), to \(X_n^- = 0\) i możemy stosować pierwszą część Uwagi 15.22, są więc spełnione założenia twierdzenia 15.21 o zbieżności.