Pytanie 8.1 Dwóch graczy wykonuje \(10\) rzutów kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że obydwaj otrzymają tyle samo „6"?
Wskazówka. \(\di \sum _{k=0}^n\left (\binom {n}{k} \left (\frac {1}{6}\right )^k\left (\frac {5}{6}\right )^{n-k}\right )^2 \cong 0.24209\) dla \(n = 10\).
Pytanie 8.2 Czy/kiedy suma dwóch niezależnych zmiennych losowych o rozkładach dwumianowych ma rozkład dwumianowy?
Wskazówka. Jeżeli \(P_X = B(n,p)\), \(P_Y = B(m,q)\), \(p = q\), to \(P_{X+Y} = B(n+m,p)\).
Pytanie 8.3 Ile rodzynek podczas wyrabiania ciasta trzeba średnio przeznaczyć na bułeczkę, aby losowo wybrana bułeczka z prawdopodobieństwem \(0,95\) lub większym zawierała co najmniej jedną rodzynkę? Jakle wtedy będzie prawdopodobieństwo tego, że losowo wybranej bułeczce będzie co najmniej 5 rodzynek?
Wskazówka. \(X\) – liczba rodzynek w bułeczce ma rozkład Poissona \(P_\lambda \), gdyż jest dużo rodzynek (doświadczeń) i małe prawdopodobieństwo, że jedna z nich trafi do danej bułeczki (sukces). Trzeba tak dobrać \(\lambda \), żeby \(P(X \ge 1) \ge 0.95\).
Mamy kolejno \(1 - e^{-\lambda } \ge 0.95\), \(\lambda \ge 2.995732274\). \(P(X \ge 5) \ge 0.1840201545\).
Pytanie 8.4 Przeprowadź dowód Twierdzenia 8.10.
Wskazówka. \(\di F_{X+Y}(z) = P(X+Y \le z) = \int \int _A f_{(X,Y)}(x,y)\,d(x,y) = \int \int _A f_{X}(x)f_Y(y) \,d(x,y) \), gdzie \(A = \{(x,y): x+y \le z \}\). Stosujemy zmianę zmiennych: \(s = x+y\), \(t = x\). Mamy więc:
\[ F_{X+Y}(z) = \int \int _{\r \times (-\infty ,z)}f_X(t)f_Y(s-t)\,d(s,t) = \int _{-\infty }^z\left (\int _{\r }f_X(t)f_Y(s-t)\,dt\right )\,ds. \]
\[ f_{X+Y}(z) = \frac {d}{dz}F_{X+Y}(z) = \int _{\r }f_X(t)f_Y(z-t)\,dt. \]
Pytanie 8.5 Znajdź rozkład sumy niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie \(U(0,a)\) każda.
Wskazówka.
\[ f_{X+Y}(z) = I_{(0.2a)}\left (\frac {1}{a}-\left |\frac {1}{a} - \frac {z}{a^2}\right |\right ). \]
Pytanie 8.6 Wykaż, że minimum dwóch niezależnych zmiennych losowych o rozkładach wykładniczych ma rozkład wykładniczy.
Wskazówka. \(F_{\min (X,Y)}(z) = P(\min (X,Y) \le z) = 1 - P(X >z,Y>z) = 1 - (1 - F_X(z))(1 - F_Y(z)) = 1 - e^{-\lambda z} e^{-\mu z} = 1 - e^{(\lambda +\mu )z}\).