Pytanie 11.1 Czy następujące rodziny rozkładów spełniają warunek Prochorowa?
1. \(\{N(m,1) : m \in \r \}\),
2. \(\{N(0,\sigma ) : 0 < \sigma < 1 \}\),
3. \(\{U(a,b): a < b < 100\}\).
Odpowiedź uzasadnij.
Wskazówka. Ad 1. Nie. Ustalmy jakikolwiek zbiór zwarty. Jest on zawarty w jakimś przedziale postaci \([-N,N]\). Można obliczyć \(P([-N,N])\) i zobaczyć, że dla dużych \(m\) jest ono dla każdego ustalonego \(N\) małe.
Ad 2. Tak. Rozumowanie podobne jak wyżej.
Ad 3. Nie. Rozumowanie podobne jak wyżej, tylko mniej liczenia.
Pytanie 11.2 Nie korzystając z MPWL wykaż następujące twierdzenie (Chinczyna).
Jeżeli \(X_1,X_2,X_3, ...\) są i.i.d. i mają skończoną nadzieję matematyczną \(m\), to \(\frac {S_n}{n} \stackrel {s}{\to } m\).
Wskazówka. Postępujemy podobnie jak w dowodzie CTG. Niech \(h\) będzie funkcją charakterystyczną zmiennej \(X_i\). Wtedy:
\[h(u) = 1 + imu + o(u),\]
\[h_{\frac {S_n}{n}}(u) = h \left (\frac {u}{n}\right )^n = \left (1 + im\frac {u}{n} + o(\frac {1}{n})\right )^n \to e^{ium} = h_m(u).\]
Więc \(\di \frac {S_n}{n} \stackrel {d}{\to } m\), więc także \(\di \frac {S_n}{n} \stackrel {s}{\to } m\).
Pytanie 11.3 Przeprowadź dowód CTG dla średnich.
Wskazówka. Tak samo jak dla sum.
Pytanie 11.4 Niech \(S_n\) oznacza sumę orłów uzyskanych w trakcie \(n\) rzutów monetą symetryczną. Niech \(\ve >0\) będzie dowolną liczbą.
Obliczyć:
1. \(\di \lim _{n\rightarrow \infty } P\left (\left |S_n-\frac {n}{2} \right | \ge \ve \right )\!, \)
2. \(\di \lim _{n\rightarrow \infty } P\left (\left |S_n-\frac {n}{2} \right | \ge \ve n\right )\!, \)
3. \(\di \lim _{n\rightarrow \infty } P\left (\left |S_n-\frac {n}{2} \right | \ge \ve \sqrt {n}\right )\!. \)
Wskazówka.
Ad 1. \(\di P\left (\left |S_n-\frac {n}{2} \right | \ge \ve \right ) = 2 - 2\Phi \left (\frac {\ve }{2\sqrt {n}}\right ) \to 1\).
Ad 2. \(\di P\left (\left |S_n-\frac {n}{2} \right | \ge \ve n\right ) = 2 - 2\Phi \left (\frac {\ve \sqrt {n}}{2}\right ) \to 0\).
Ad 3. \(\di P\left (\left |S_n-\frac {n}{2} \right | \ge \ve \sqrt {n}\right ) = 2 - 2\Phi \left (\frac {\ve }{2}\right )\).
Pytanie 11.5 Niech \(S_n\) oznacza sumę orłów uzyskanych w trakcie \(n\) rzutów monetą symetryczną. Sformułować jako twierdzenie następujące spostrzeżenia: Gdy wykona się dostatecznie dużo rzutów, to różnica między liczbą uzyskanych orłów i reszek będzie tak wielka jak chcemy, natomiast ich iloraz będzie coraz bliższy 1.
Wskazówka. Twierdzenie Dla dowolnego \(\ve > 0\):
1. \(\di \lim _{n\rightarrow \infty } P\left (\left |S_n-(n-S_n) \right | \ge \ve \right ) = 1, \)
2. \(\di \lim _{n\rightarrow \infty } P\left (\left |\frac {n-S_n}{S_n} - 1 \right | \ge \ve \right ) = 0. \)
Dowód. 1. wynika z 1. z punktu 1 w poprzednim pytaniu.
\[ 2. \ \ \ P\left (\left |\frac {n-S_n}{S_n} - 1 \right | \ge \ve \right ) = 1 - \Phi \left (\frac {\ve \sqrt {n}}{2-\ve }\right ) + \Phi \left (\frac {-\ve \sqrt {n}}{2+\ve }\right ) \to 0.\]
Pytanie 11.6 Wykazać twierdzenie o jednoznaczności rozkładu w przypadku funkcji tworzących.
Wskazówka. Niech \(\pi _X = \pi _Y\) będą funkcjami tworzącymi zmiennych losowych \(X\), \(Y\). Wtedy zachodzi też równość \(h_X(u) = \pi _X(e^{iu}) = \pi _Y(e^{iu}) = h_Y(u)\) dla \(u \in \r \), gdzie \(h_X\), \(h_Y\) są odpowiednimi funkcjami charakterystycznymi. Z twierdzenia o jednoznaczności dla funkcji charakterystycznych oznacza to, że \(P_X = P_Y\).