Rozkład \(Q\) nazywamy rozkładem wykładniczym, jeżeli istnieje taka liczba \(\lambda > 0\), że funkcja \(f\) określona wzorem
\[ f(x) = \left \{ \begin {array}{ll} 0, & \mbox { dla } x<0\\ \lambda e^{-\lambda x}, & \mbox { dla } x \ge 0. \end {array} \right . \]
jest gęstością tego rozkładu.
Dystrybuanta
\[ F(x) = \int _{-\infty }^xf(t)\,dt = \left \{ \begin {array}{ll} 0, & \mbox { dla } x<0\\ 1 - e^{-\lambda x}, & \mbox { dla } x \ge 0. \end {array} \right . \]
\(\seteqnumber{0}{8.}{0}\)\begin{equation} E(X) = \frac {1}{\lambda }, \hspace {2cm} D^2(X) = \frac {1}{\lambda ^2}. \end{equation}
Dowód. Proste przeliczenie (ćwiczenie). \(\Box \)
Rozkład wykładniczy jest ciągłym odpowiednikiem rozkładu geometrycznego. Mówiąc nieściśle, czas oczekiwania na pierwszy sukces w nieskończonym ciągu niezależnych prób Bernoulliego ma w przybliżeniu rozkład wykładniczy o parametrze \(\lambda \), o ile czas pomiędzy kolejnymi próbami jest bardzo mały, a prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie jest małe i proporcjonalne do tego czasu, przy czym parametr \(\lambda \) jest współczynnikiem tej proporcjonalności. Inaczej, gdy jednostką czasu jest \(\delta \) oraz \(p\) jest bliskie zeru, to rozkład geometryczny o parametrze \(p\) i wykładniczy \(\lambda = p\) są podobne. Zobacz sam.
Poniżej formułujemy odpowiednie twierdzenie.
Niech \(\lambda > 0\) będzie ustalone.
Dla \(\delta >0 \) oznaczamy \(p = p_\delta = \lambda \cdot \delta \).
Niech \(X_1,X_2,X_3,\dots \) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych, z których każda ma rozkład dwupunktowy o parametrze \(p\).
Niech
\[T = \delta \,min\{n \ge 1: X_n = 1\}.\]
Niech \(F\) oznacza dystrybuantę rozkładu wykładniczego o parametrze \(\lambda \).
Dowód. Dla \(t\le 0\) – trywialne. \(\hfill { \Box }\)
Niech \(t > 0\). Zmienna losowa \(\di T\over \delta \) ma rozkład geometryczny. Niech \(n = [\frac {t}{\delta } ]\).
\[ F_T(t) = P(T \le t) = 1 - P(T>t) = 1 - P(\frac {T}{\delta } > \frac {t}{\delta }) = 1 - \sum _{k = n+1}^\infty (1-p)^{k-1}p = \]
\[ 1 - (1 - p)^n = 1 - \left (1 - \frac {\lambda }{\delta ^{-1}}\right )^{\delta ^{-1}t -r_\delta } \longrightarrow 1 - e^{-\lambda t} = F(t), \]
dla \(\delta \rightarrow 0\), gdyż \(0 \le r_\delta = \frac {t}{\delta } - n < 1\), więc \(\di \left (1 - \frac {\lambda }{\delta ^{-1}}\right )^{-r_\delta }\) zmierza do \(1\). \(\hfill { \Box }\)
Twierdzenie – 8.9 Niech \(T_1,\dots , T_r\) będą zmiennymi losowymi niezależnymi o takim samym rozkładzie wykładniczym o parametrze \(\lambda \). Niech \(S_r =T_1+\dots +T_r\).
Wtedy \(S_r\) ma rozkład o gęstości \(f_r\):
\[ f_r(x) = \frac {\lambda (\lambda x)^{r-1}}{(r-1)!} e^{-\lambda x} \mbox { dla } x >0 \]
oraz \(f_r(x) = 0 \) dla \(x\le 0\).
Powyższy rozkład nosi nazwę rozkładu Erlanga.
Dowód. Rachunkowy dowód polega na zastosowaniu indukcji oraz następującego wzoru na gęstość sumy niezależnych zmiennych losowych o rozkładach ciągłych (ćwiczenie). \(\hfill { \Box }\)
Dowód wykorzystuje twierdzenie o zmianie zmiennych w całce podwójnej oraz twierdzenie Fubiniego. \(\hfill { \Box }\)
Indukcyjnie można pokazać, że dystrybuanta wyraża się wzorem (ćwiczenie):
\[ F_r(t) = \int _0^t \frac {\lambda (\lambda x)^{r-1}}{(r-1)!} e^{-\lambda x}\, dx = 1 - e^{-\lambda t} \left (1 + \frac {\lambda t}{1!} + \dots + \frac {(\lambda t)^{r-1}}{(r-1)!} \right ). \]
