Pytanie 12.1 Liczby \(0.657, 0.773, 0.801, 0.501, 0.123, 0.202\) wylosowano z rozkładu \(U(0,1)\). Na tej podstawie wygeneruj liczby z rozkładu \(B(3,1/2)\).
Wskazówka. 2, 2, 2, 2, 0, 1. Trzeba było podzielić odcinek \([0,1]\) punktami \(1/8, 4/8, 7/8\).
Pytanie 12.2 Niech \(X_1,X_2,X_3, ... \) będą i.i.d. z rozkładu \(U(0,a)\), \(a > 0\). Zbadać własności estymatora parametru \(a\): \(M_n = \max (X_1,...,X_n)\).
Wskazówka. Zgodność. Ustalmy \(0< \ve < a\) i zdefiniujmy zdarzenia \(A_n = \{M_n \le a-\ve \}\). Widać, że \(\di P(A_n) = \left (\frac {a-\ve }{a}\right )^n\). Stąd \(\di \sum _{n=1}^\infty P(A_n) < \infty \), co z Lematu Borela-Canteellego oznacza, że \(\di P\left (\bigcap _{N=1}^\infty \bigcup _{n \ge N} A_n\right ) = 0\).
Inaczej:
\[P\left (\bigcap _{\ve >0} \bigcup _{N=1}^\infty \bigcap _{n \ge N} \{M_n > a-\ve \}\right ) = 1,\]
czyli \(\di M_n \stackrel {1}{\str } a\).
Nieobciążoność.
\[F_{M_n}(x) = \left (\frac {x}{a}\right )^n, \ \ f_{M_n}(x) = n\frac {x^{n-1}}{a^n}, \ \ E(M_n) = \frac {n}{n+1} a.\]
Estymator jest obciążony.
Nieobciążonym i zgodnym estymatorem parametru \(a\) jest więc: \(\di \frac {n+1}{n}M_n\).
Pytanie 12.3 Dana jest funkcja \(f:[a,b] \str \r \), o której wiadomo, że spełnia warunek \(|f(x)| \le M\) dla każdego \(x \in [a,b]\). Jak można estymować \(\di \int _a^b f(x)\,dx\) używając Metodę 1 z wykładu?.
Wskazówka. Rozważyć funkcję \(g = f + M\).
Pytanie 12.4 Aby obliczyć całkę \(J = \int _{-1}^{1} f(x)\,dx\), gdzie \(0 < f(x) < 1\) zastosowano Metodę 1. Wylosowano \(1000\) punktów z prostokąta \([-1,1]\times [0,1]\) i okazało się, że \(360\) z nich leży pod wykresem funkcji. Na poziomie ufności \(0.95\) wskaż przedział ufności dla \(J\).
Wskazówka. Przedział ufności jest postaci \((\bar {J}_n - \delta ,\bar {J}_n + \delta )\), gdzie \(\bar {J}_n =(b-a)c\bar {X}_n\), \(\delta = (b-a)c \frac {\sigma }{\sqrt {n}} \Phi ^{-1}\left (1 - \frac {\alpha }{2}\right )\). Mamy \(a= -1\), \(b=1\), \(c = 1\), \(n = 1000\), \(\bar {X}_n = \frac {360}{1000} = 0.36\), \(\Phi ^{-1}(1 - \frac {\alpha }{2}) = 1.96\). Nie znamy \(\sigma \), ale na podstawie próby znamy jego przybliżenie, mianowicie \(\hat {\sigma }_X^2 = \frac {1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i - \bar {X}_n)^2 = \frac {1}{n}\sum _{i=1}^n X_i^2 - (\bar {X}_n)^2 \). Ponieważ \(X_i = X_i^2\), to \(\hat {\sigma }_X^2 = \frac {360}{1000} - (\frac {360}{1000})^2 = 0.230400\). W takim razie przedział ufności dla \(J\), to: \([0.660498, 0.779501]\).
Pytanie 12.5 W celu estymacji całki \(\di J = \int _a^b f(x)\,dx\) wylosowano \(n\) punktów \(x_i\) według rozkładu jednostajnego \(U([a,b])\) i wyznaczono sumy \(s = f(x_1) + \dots +f(x_n)\) oraz \(kw = f(x_1)^2 + \dots +f(x_n)^2\). Wskaż przedział ufności dla \(J\) postaci \((c,\infty )\) na poziomie ufności \(1 - \alpha \).
Wskazówka. \(\di c = (b-a)\left (\frac {s}{n} - \frac {\sqrt {n\,kw - s^2}}{n}\Phi ^{-1}(1- \alpha )\right )\).
Pytanie 12.6 Wykonaj ćwiczenie zaproponowane w punkcie 8 dowodu Twierdzenia 8.13.
Wskazówka. Wystarczy wykazać, że
\[\{f(X_t) \str m, \hbox { gdy } t \str \infty \} \subset \{X_t \str A^\star ,\hbox { gdy } t \str \infty \}.\]
Niech \(\omega \in \{f(X_t(\omega )) \str m, \hbox { gdy } t \str \infty \}\) i niech \(x_t = X_t(\omega )\). Chcemy pokazać, że \(dist(x_t,A^\star ) \str 0\). Gdyby tak nie było, to istniałby taki podciąg \(t_k\) oraz \(\ve >0\), że
\(\seteqnumber{0}{12.}{1}\)\begin{equation} \|x_{t_k} - x \| \ge \ve \hbox { dla kaÅijdego } x \in A^\star . \label {r1} \end{equation}
Ze zwartości \(A\) można wybrać podciąg \(t_{k_l}\) oraz punkt \(x^\star \in A\) takie, że \(x_{t_{k_l}} \str x^\star \). Wtedy z ciągłości \(f\) wiemy, że \(f(x_{t_{k_l}}) \str f(x^\star )\). Ale z naszego założenia: \(f(x_{t_{k_l}}) \str m\). Czyli \(m = f(x^\star )\), co z określenia \(A^\star \) oznacza, że \(x^\star \in A^\star \), więc nierówność (12.2) oznacza, że \(\|x_{t_{k_l}} - x^\star \| \ge \ve \) i w granicy \(\|x^\star - x^\star \| \ge \ve \), co daje sprzeczność.