Pytanie 4.1 Niech \(F_1, ..., F_k\) będą dystrybuantami, \(\lambda _1, ... , \lambda _k > 0\), \(\lambda _1 + ... + \lambda _k = 1\). Czy \(F = \lambda _1F_1 + ... + \lambda _kF_k\) jest dystrybuantą?
Wskazówka. Tak.
Pytanie 4.2 \(Q\) jest rozkładem dyskretnym zadanym przez ciągi \((1,2,3,...),\) \((\frac 16, \frac 56 \frac {1}{6}, (\frac {5}{6}) \frac 16 , ... )\). Oblicz \(Q(A)\), gdzie \(A\) jest zbiorem liczb parzystych. Wykaż, że zbiory liczb parzystych i liczb pierwszych są zdarzeniami zależnymi.
Wskazówka. \(Q(A) = \frac {5}{11}\). Niech \(B\) będzie zbiorem liczb pierwszych. Biorąc cztery kolejne liczby pierwsze możemy stwierdzić, że \(Q(B) > 0.3908214735 \), więc \(Q(A)Q(B) > 0.1776461243\). Tymczasem \(Q(A\cap B) = Q(\{2\}) = \frac {5}{36} = 0.1388888889\).
Pytanie 4.3 Wskaż rozkład ciągły, którego gęstość jest dodatnia we wszystkich punktach \(x \in \r \).
Wskazówka. Można wziąć taką funkcję dodatnią, np. ciągłą, \(g\) że \(\int _{-\infty }^\infty g(x)\,dx < \infty \). Gęstością jest wtedy \(f\):
\[ f(x) = \frac {g(x)}{\int _{-\infty }^\infty g(x)\,dx}. \]
Pytanie 4.4 Wykaż, że dla dowolnej dystrybuanty zbiór punktów nieciągłości jest co najwyżej przeliczalny.
Wskazówka. W istocie jest to uogólnienie Uwagi 4.7.
Pytanie 4.5 Niech \(F\) będzie dystrybuantą, a \(h :\r \str \r \) funkcją. Zaproponuj założeni o \(h\) gwarantujące, że \(F\circ h\) jest dystrybuantą.
Wskazówka. \(h\) rosnąca, \(\lim _{x\to - \infty }h(x) = - \infty \), \(\lim _{x\to \infty }h(x) = \infty \).
Pytanie 4.6 Wskaż dystrybuantę rozkładu jednostajnego na: (a) przedziale \((-2,2)\), (b) sumie przedziałów \((-4,-2)\), \((2,4)\).
Wskazówka. Ad (a).
\[ F(x) =\left \{ \begin {array}{cl} 0, & x < -2\\[0.2cm] \frac {x+2}{4}, & -2\le x < 2\\[0.3cm] 1, & 2 \le x. \end {array} \right . \]
,
Ad (b).
\[ F(x) =\left \{ \begin {array}{cl} 0, & x < -4\\[0.2cm] \frac {x+4}{4}, & -4 \le x < -2\\[0.3cm] \frac {1}{2}, & -2 \le x < 2 \\[0.3cm] \frac {x}{4}, & 2 \le x < 4 \\[0.3cm] 1, & 4 \le x. \end {array} \right . \]