Wykorzystując pojęcie nadziei warunkowej można badać procesy stochastyczne, czyli ciągi zmiennych losowych, zwane martyngałami, podmartyngałami (submartygałąmi) i nadmartyngałami (supmartyngałami). Niech (Ω, Σ, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną.
Niech \(\{\a _n\}\) będzie ciągiem \(\s \)-algebr: \(\a _1 \subset \a _2 \subset \a _3 \subset \dots \subset \Sigma \). Częsta nazwa – filtracja.
Niech \(X_n :\Omega \str \r \) będzie ciągiem zmiennych losowych, takich, że \(E(X_n) \in \r \) oraz dla każdego \(n\) \(X_n\) jest \(\a _n\)-mierzalna..
Definicja – 15.1 Parę \(\left (\}X_n\}, \{\a _n\} \right )\) nazywamy:
1. martyngałem \(\rwn \) dla każdego \(n\) \(E(X_{n+1}|\a _n) = X_{n}\).
2. submartyngałem \(\rwn \) dla każdego \(n\) \(E(X_{n+1}|\a _n) \ge X_{n}\).
3. supmartyngałem \(\rwn \) dla każdego \(n\) \(E(X_{n+1}|\a _n) \le X_{n}\).
Definicja – 15.2 Ciąg \(\}X_n\}\) nazywamy odpowiednio
martyngałem, submartyngałem, supmartyngałem
\(\rwn \) para \(\left (\{X_n\}, \{\a _n\} \right )\), gdzie \(\a _n = \sigma (X_1, \dots ,X_n)\) jest odpowiednio
martyngałem, submartyngałem, supmartyngałem.
Często używana interpretacja.
\(X_n\) – kapitał gracza po \(n\) grach.
\(\a _n\) – dostępna informacja po \(n\) grach.
\(\a _n \subset \a _{n+1}\) – informacja wzrasta w trakcie gry.
\(E(X_{n+1}|\a _n) = X_{n}\) – gra jest sprawiedliwa.
\(E(X_{n+1}|\a _n) \ge X_{n}\) – gra jest korzystna dla gracza.
\(E(X_{n+1}|\a _n) \le X_{n}\) – gra nie jest korzystna dla gracza.
Uwaga – 15.3 Jeżeli para \(\left (\{X_n\}, \{\a _n\} \right )\) jest odpowiednio martyngałem, submartyngałem, supmartyngałem, to ciąg \(\{X_n\}\) jest odpowiednio martyngałem, submartyngałem, supmartyngałem.
Dowód. W przypadku martyngału dla każdego \(n\) zachodzi równość:
\[E(X_{n+1}|\a _n) = X_{n},\]
a ponieważ dla \(i \le n\) \(X_i\) jest \(\a _i\)-mierzalna, więc jest też \(\a _n\)-mierzalna i stąd wektor \((X_1, ..., X_n)\) jest \(\a _n\)-mierzalny. Tak więc \(\s (X_1, ..., X_n) \subset \a _n\) i korzystając z własności 7 w Twierdzeniu 13.25 oraz własności 4 w Twierdzeniu 13.26 z powyższej równości otrzymujemy kolejno:
\[E(E(X_{n+1}|\a _n)|\s (X_1, ..., X_n)) = E(X_{n}|\s (X_1, ..., X_n)),\]
\[E(X_{n+1}|\s (X_1, ..., X_n)) = X_{n}.\]
Pozostałe przypadki są oczywiste.
Przykład – 15.4
\(X_1, X_2, X_3, \dots \) – niezależne zmienne losowe, \(E(X_i) =0\),
\(S_n = X_1 + X_2 + \dots + X_n\).
Wtedy \(\left (\{S_n\}, \{\s (X_1,\dots ,X_n)\}\right )\) jest martyngałem.
Rzeczywiście: Dla każdego \(n\) \(S_n\) jest \(\s (X_1,\dots ,X_n)\) mierzalna (ćwiczenie).
\[ E(S_{n+1}|\s (X_1,\dots ,X_n)) = E(S_{n} + X_{n+1}|\s (X_1,\dots ,X_n))\]
\[ = E(S_{n}|\s (X_1,\dots ,X_n))+E(X_{n+1}|\s (X_1,\dots ,X_n)) = S_n + E(X_{n+1}) = S_n.\]
Interpretacja. Jeżeli oczekiwany zysk w pojedynczej grze równa się zeru, a gry od siebie są niezależne, to gra jest sprawiedliwa.
Przykład – 15.5 W przykładzie 10.23 rozpatrywaliśmy ciąg: \(x_0 = 1\), \(x_{n+1}\) – liczba wylosowana zgodnie z rozkładem \(U(0,2x_n)\), \(n = 0,1,2,3, \dots \).
Niech \(X_n\) oznacza zmienną losową, której realizacją jest \(x_n\).
Ciąg \(X_n\) jest martyngałem, gdyż \(X_{n}\) jest \(\s (X_1,...,X_n)\) mierzalne, a także z określenia \(x_{n+1}\) widać, że: \(E(X_{n+1}|\s (X_1,...,X_n)) = \frac {0+2X_n}{2} = X_n\).
Przykład – 15.6
\(X_1,X_2,X_3, \dots .\) i.i.d. o dyskretnym rozkładzie jednostajnym skupionym na zbiorze \(\{-1,1\}\). \(S_n = X_1 + \dots + X_n\).
Wtedy \((\{S_n^2 - n\},\{\s (X_1,\dots ,X_n)\})\) jest martyngałem.
Rzeczywiście: Dla każdego \(n\) \(S_n^2 - n\) jest \(\s (X_1,\dots ,X_n)\) mierzalna (ćwiczenie).
\[ E(S_{n+1}^2 -(n+1)|\s (X_1,\dots ,X_n))\]
\[ = E((S_{n} +X_{n+1})^2|\s (X_1,\dots ,X_n)) - E(n+1|\s (X_1,\dots ,X_n))\]
\[ = E(S_{n}^2 +2S_nX_{n+1}+X_{n+1}^2|\s (X_1,\dots ,X_n)) - n - 1 \]
\[ = S_n^2 +2S_nE(X_{n+1}) + E(X_{n+1}^2) - n - 1 = S_{n}^2 + 2S_n\cdot 0 + 1 - n - 1 = S_n^2 - n. \]
Przykład – 15.7
Niech \(\a _n\) będzie ciągiem \(\s \)-algebr: \(\a _1 \subset \a _2 \subset \a _3 \subset \dots \subset \Sigma \). \(X\) zmienna losowa, \(E(X) \in \r \). Wtedy \(\{E(X|\a _n)\}\) jest martyngałem (ćwiczenie).
Nierówność Jensena implikuje ważne twierdzenie:
Twierdzenie – 15.8 Jeżeli \(\left (\{X_n\}, \{\a _n\} \right )\) jest submartyngałem, \(g: \r \str \r \) funkcją rosnącą i wypukłą, to \(\left (\{g(X_n)\}, \{\a _n\} \right )\) jest submartyngałem.
Dowód. (ćwiczenie).
Wniosek – 15.9 Jeżeli \(\left (\{X_n\}, \{\a _n\} \right )\) jest submartyngałem, to:
(1) \(\left (\{X_n^+\}, \{\a _n\} \right )\) jest submartyngałem
(2) \(\left (\{X_n^2\}, \{\a _n\} \right )\) jest submartyngałem