Rachunek prawdopodobieństwa 1, 2
\(\newcommand{\footnotename}{footnote}\)
\(\def \LWRfootnote {1}\)
\(\newcommand {\footnote }[2][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\)
\(\newcommand {\footnotemark }[1][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\)
\(\newcommand \ensuremath [1]{#1}\)
\(\newcommand {\LWRframebox }[2][]{\fbox {#2}} \newcommand {\framebox }[1][]{\LWRframebox } \)
\(\newcommand {\setlength }[2]{}\)
\(\newcommand {\addtolength }[2]{}\)
\(\newcommand {\setcounter }[2]{}\)
\(\newcommand {\addtocounter }[2]{}\)
\(\newcommand {\cline }[1]{}\)
\(\newcommand {\directlua }[1]{\text {(directlua)}}\)
\(\newcommand {\luatexdirectlua }[1]{\text {(directlua)}}\)
\(\newcommand {\protect }{}\)
\(\def \LWRabsorbnumber #1 {}\)
\(\def \LWRabsorbquotenumber "#1 {}\)
\(\def \mathchar {\ifnextchar "\LWRabsorbquotenumber \LWRabsorbnumber }\)
\(\def \mathcode #1={\mathchar }\)
\(\let \delcode \mathcode \)
\(\let \delimiter \mathchar \)
\(\let \LWRref \ref \)
\(\renewcommand {\ref }{\ifstar \LWRref \LWRref }\)
\(\newcommand {\intertext }[1]{\text {#1}\notag \\}\)
\(\newcommand {\ep }{\varepsilon }\)
\(\newcommand {\ve }{\varepsilon }\)
\(\newcommand {\s }{\sigma }\)
\(\newcommand {\o }{\omega }\)
\(\newcommand {\f }{\varphi }\)
\(\newcommand {\vr }{\varrho }\)
\(\newcommand {\a }{\mathcal {A}}\)
\(\newcommand {\h }{\mathcal {H}}\)
\(\newcommand {\b }{\mathcal {B}}\)
\(\newcommand {\G } {\mathbb {G}}\)
\(\newcommand {\r } {\mathbb {R}}\)
\(\newcommand {\rn } {\mathbb {R}^n}\)
\(\newcommand {\Z } {\mathbb {Z}}\)
\(\newcommand {\z } {\mathbb {Z}}\)
\(\newcommand {\N } {\mathbb {N}}\)
\(\newcommand {\C } {\mathbb {C}}\)
\(\newcommand {\K } {\mathbb {K}}\)
\(\newcommand {\Q } {\mathbb {Q}}\)
\(\newcommand {\bx }{\mathbf {x}}\)
\(\newcommand {\by }{\mathbf {y}}\)
\(\newcommand {\bY }{\mathbf {Y}}\)
\(\newcommand {\p }{\mathbf {p}}\)
\(\newcommand {\P }{\mathbf {P}}\)
\(\let \leq \leqslant \)
\(\let \le \leqslant \)
\(\newcommand {\O }{\emptyset }\)
\(\newcommand {\imp }{\Longrightarrow }\)
\(\newcommand {\str }{\longrightarrow }\)
\(\newcommand {\rwn }{\Longleftrightarrow }\)
\(\newcommand {\di }{\displaystyle }\)
8.5 Rozkład Pascala, ujemny rozkład dwumianowy
Rozkład \(Q\) nazywamy ujemnym rozkładem dwumianowym (lub rozkładem Pascala), jeżeli istnieją: liczba naturalna \(r \ge 1\) oraz rzeczywista \(p >0\) takie, że
\[ Q(r+k) = \binom {r+k-1}{\ r-1}p^r(1-p)^k, \mbox { dla } k = 0,1,2,\dots \]
Zauważmy, że rozkład geometryczny jest szczególnym przypadkiem ujemnego rozkładu dwumianowego. \(r=1\).
-
Twierdzenie – 8.6 Niech \(X_1,X_2,X_3,\dots \) będzie ciągiem niezależnych prób Bernoulliego o takim samym prawdopodobieństwie sukcesu \(p\) w każdej próbie. Określamy:
\(\seteqnumber{0}{8.}{0}\)
\begin{eqnarray*}
T_r := min \{n: \exists 1\le k_1 < \dots < k_r = n \mbox { takie, Åije } X_{k_i} =1, \mbox { dla } i =1,\dots ,r\}.
\end{eqnarray*}
Wtedy, \(T_r\) jest zmienną losową o ujemnym rozkładzie dwumianowym. Inaczej: Czas oczekiwania na pierwszych \(r\) sukcesów w nieskończonym schemacie Bernoulliego ma ujemny rozkład dwumianowy.
Dowód. Dowód jest bardzo podobny do analogicznego twierdzenia o rozkładzie geometrycznym.
\[\{T_r = r+k\} = \bigcup \{X_1 = \ve _1, \dots , X_{r+k -1} = \ve _{r+k-1}, X_{r+k} = 1\},\]
gdzie sumowanie odbywa się po wszystkich \(\{\ve _1, \dots , \ve _{r+k-1}\}\) takich, że spośród nich \(r-1 \) ma wartość 1 oraz \(k\). ma wartość 0. Wtedy \(P(\{X_1 = \ve _1, \dots , X_{r+k -1} = \ve _{r+k-1}, X_{r+k}
= 1\} ) =p^r(1-p)^k\). \(\hfill { \Box }\)
Można także udowodnić twierdzenie, które jeszcze inaczej pozwala spojrzeć na problem czasów oczekiwania:
-
Twierdzenie – 8.7 Niech \(T_1,\dots ,T_r\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o takim samym rozkładzie geometrycznym każda.
Wtedy suma \(T_1 + \dots + T_r\) ma ujemny rozkład dwumianowy.
Dowód. Indukcja ze względu na \(r\) (ćwiczenie). \(\Box \)
\(E(X) = \frac {r}{p}\), \(D^2(X) = \frac {r(1-p)}{p^2}.\)
Dowód. Wynika z poprzedniego twierdzenia (ćwiczenie). \(\Box \)
