Rachunek prawdopodobieństwa 1, 2
\(\newcommand{\footnotename}{footnote}\)
\(\def \LWRfootnote {1}\)
\(\newcommand {\footnote }[2][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\)
\(\newcommand {\footnotemark }[1][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\)
\(\newcommand \ensuremath [1]{#1}\)
\(\newcommand {\LWRframebox }[2][]{\fbox {#2}} \newcommand {\framebox }[1][]{\LWRframebox } \)
\(\newcommand {\setlength }[2]{}\)
\(\newcommand {\addtolength }[2]{}\)
\(\newcommand {\setcounter }[2]{}\)
\(\newcommand {\addtocounter }[2]{}\)
\(\newcommand {\cline }[1]{}\)
\(\newcommand {\directlua }[1]{\text {(directlua)}}\)
\(\newcommand {\luatexdirectlua }[1]{\text {(directlua)}}\)
\(\newcommand {\protect }{}\)
\(\def \LWRabsorbnumber #1 {}\)
\(\def \LWRabsorbquotenumber "#1 {}\)
\(\def \mathchar {\ifnextchar "\LWRabsorbquotenumber \LWRabsorbnumber }\)
\(\def \mathcode #1={\mathchar }\)
\(\let \delcode \mathcode \)
\(\let \delimiter \mathchar \)
\(\let \LWRref \ref \)
\(\renewcommand {\ref }{\ifstar \LWRref \LWRref }\)
\(\newcommand {\intertext }[1]{\text {#1}\notag \\}\)
\(\newcommand {\ep }{\varepsilon }\)
\(\newcommand {\ve }{\varepsilon }\)
\(\newcommand {\s }{\sigma }\)
\(\newcommand {\o }{\omega }\)
\(\newcommand {\f }{\varphi }\)
\(\newcommand {\vr }{\varrho }\)
\(\newcommand {\a }{\mathcal {A}}\)
\(\newcommand {\h }{\mathcal {H}}\)
\(\newcommand {\b }{\mathcal {B}}\)
\(\newcommand {\G } {\mathbb {G}}\)
\(\newcommand {\r } {\mathbb {R}}\)
\(\newcommand {\rn } {\mathbb {R}^n}\)
\(\newcommand {\Z } {\mathbb {Z}}\)
\(\newcommand {\z } {\mathbb {Z}}\)
\(\newcommand {\N } {\mathbb {N}}\)
\(\newcommand {\C } {\mathbb {C}}\)
\(\newcommand {\K } {\mathbb {K}}\)
\(\newcommand {\Q } {\mathbb {Q}}\)
\(\newcommand {\bx }{\mathbf {x}}\)
\(\newcommand {\by }{\mathbf {y}}\)
\(\newcommand {\bY }{\mathbf {Y}}\)
\(\newcommand {\p }{\mathbf {p}}\)
\(\newcommand {\P }{\mathbf {P}}\)
\(\let \leq \leqslant \)
\(\let \le \leqslant \)
\(\newcommand {\O }{\emptyset }\)
\(\newcommand {\imp }{\Longrightarrow }\)
\(\newcommand {\str }{\longrightarrow }\)
\(\newcommand {\rwn }{\Longleftrightarrow }\)
\(\newcommand {\di }{\displaystyle }\)
8.7 Proces Poissona
-
Twierdzenie – 8.11 Niech \(T_1,T_2, T_3,\dots \) będą zmiennymi losowymi niezależnymi o takim samym rozkładzie wykładniczym o parametrze \(\lambda \). Niech \(S_n =T_1+\dots
+T_n\). Kładziemy dodatkowo \(S_0 = 0\). Definiujemy:
\[ N_t := max\,\{n: S_n \le t\}, \]
gdzie \(t> 0\) jest ustaloną liczbą.
Wtedy zmienna losowa \(N_t\) ma rozkład Poissona o parametrze \(\lambda t.\)
Komentarz. Zmienna \(N_t\) oznacza liczbę sukcesów, które mają miejsce na odcinku czasu \((0,t)\) w ciągu niezależnych prób Bernoulliego, o ile próby te mogą być powtarzane nieskończenie często, a prawdopodobieństwo
pojawienia się sukcesu w bardzo małym odcinku czasu \(\Delta t\) wynosi w przybliżeniu \(\lambda \Delta t\).
Dowód. Zauważmy, że zdarzenie \(\{N_t = k\}\) jest równe zdarzeniu \(\{S_k \le t\} \setminus \{S_{k+1} \le t \}\). Tak więc:
\[ P(N_t = k) = F_k(t) - F_{k+1}(t), \]
gdzie \(F_k\) oznacza dystrybuantę zmiennej losowej \(S_k\), która ma rozkład Erlanga. Poprzednio określiliśmy już dystrybuantę \(F_k\).
Stąd łatwo widać, że: \(\di P(N_t = k) = \frac {(\lambda t)^k}{k!}e^{-\lambda t}\). \(\hfill { \Box }\)
Proces stochastyczny Rodzina zmiennych losowych określonych na tej samej przestrzeni probabilistycznej indeksowana przez czas nazywa się procesem stochastycznym. Powyższa rodzina \(\{N_t\}_{t \ge 0}\) jest właśnie takim
przypadkiem i nazywa się procesem Poissona.
