Rachunek prawdopodobieństwa 1, 2
\(\newcommand{\footnotename}{footnote}\)
\(\def \LWRfootnote {1}\)
\(\newcommand {\footnote }[2][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\)
\(\newcommand {\footnotemark }[1][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\)
\(\newcommand \ensuremath [1]{#1}\)
\(\newcommand {\LWRframebox }[2][]{\fbox {#2}} \newcommand {\framebox }[1][]{\LWRframebox } \)
\(\newcommand {\setlength }[2]{}\)
\(\newcommand {\addtolength }[2]{}\)
\(\newcommand {\setcounter }[2]{}\)
\(\newcommand {\addtocounter }[2]{}\)
\(\newcommand {\cline }[1]{}\)
\(\newcommand {\directlua }[1]{\text {(directlua)}}\)
\(\newcommand {\luatexdirectlua }[1]{\text {(directlua)}}\)
\(\newcommand {\protect }{}\)
\(\def \LWRabsorbnumber #1 {}\)
\(\def \LWRabsorbquotenumber "#1 {}\)
\(\def \mathchar {\ifnextchar "\LWRabsorbquotenumber \LWRabsorbnumber }\)
\(\def \mathcode #1={\mathchar }\)
\(\let \delcode \mathcode \)
\(\let \delimiter \mathchar \)
\(\let \LWRref \ref \)
\(\renewcommand {\ref }{\ifstar \LWRref \LWRref }\)
\(\newcommand {\intertext }[1]{\text {#1}\notag \\}\)
\(\newcommand {\ep }{\varepsilon }\)
\(\newcommand {\ve }{\varepsilon }\)
\(\newcommand {\s }{\sigma }\)
\(\newcommand {\o }{\omega }\)
\(\newcommand {\f }{\varphi }\)
\(\newcommand {\vr }{\varrho }\)
\(\newcommand {\a }{\mathcal {A}}\)
\(\newcommand {\h }{\mathcal {H}}\)
\(\newcommand {\b }{\mathcal {B}}\)
\(\newcommand {\G } {\mathbb {G}}\)
\(\newcommand {\r } {\mathbb {R}}\)
\(\newcommand {\rn } {\mathbb {R}^n}\)
\(\newcommand {\Z } {\mathbb {Z}}\)
\(\newcommand {\z } {\mathbb {Z}}\)
\(\newcommand {\N } {\mathbb {N}}\)
\(\newcommand {\C } {\mathbb {C}}\)
\(\newcommand {\K } {\mathbb {K}}\)
\(\newcommand {\Q } {\mathbb {Q}}\)
\(\newcommand {\bx }{\mathbf {x}}\)
\(\newcommand {\by }{\mathbf {y}}\)
\(\newcommand {\bY }{\mathbf {Y}}\)
\(\newcommand {\p }{\mathbf {p}}\)
\(\newcommand {\P }{\mathbf {P}}\)
\(\let \leq \leqslant \)
\(\let \le \leqslant \)
\(\newcommand {\O }{\emptyset }\)
\(\newcommand {\imp }{\Longrightarrow }\)
\(\newcommand {\str }{\longrightarrow }\)
\(\newcommand {\rwn }{\Longleftrightarrow }\)
\(\newcommand {\di }{\displaystyle }\)
8.3 Rozkład hipergeometryczny
Rozkład \(Q\) nazywamy hipergeometrycznym, jeżeli istnieją liczby naturalne \(N\), \(N_0 \le N\), \(n \le N\) takie, że dla każdego \(k =0,1,2, \dots n\) zachodzi:
\[ Q(k) =\frac {\binom {N_0}{k} \binom {N-N_0}{n-k}} {\binom {N}{n}}, \]
Oznaczając \(p = \frac {N_0}{N}\) oraz \(q = 1 - p\) otrzymujemy:
\[ Q(k) =\frac {\binom {Np}{k} \binom {Nq}{n-k}} {\binom {N}{n}}, \]
Przypuśćmy, że pewna populacja składa się z \(N\) elementów, przy czym \(N_0\) elementów ma własność \(W\). Losujemy bez zwracania \(n\) elementów i oznaczamy przez \(X\) liczbę wylosowanych elementów mających własność \(W\).
Łatwo zauważyć, nawiązując do rozważań dotyczących losowania ze zwracaniem, że zmienna losowa \(X\) ma rozkład hipergeometryczny.
\(E(X) = np\), \(\di D^2(X) = npq\frac {N-n}{N-1}\).
Dowód. Maple, Ćwiczenie 8.5.
Przy losowaniu \(n\) elementów ze zwracaniem i przy losowaniu \(n\) elementów bez zwracania z populacji o liczebności \(N\) z wyróżnioną frakcją losujemy średnio tyle samo elementów z tych frakcji. Jednak przy losowaniu bez
zwracania wariancja jest mniejsza.
Porównajmy odpowiednie rozkłady
