Pytanie 5.1 Rzucono trzema kostkami i podano informację, czy, i na których kostkach wypadła „6". Na odpowiedniej przestrzeni probabilistycznej podaj przykłady funkcji, które są oraz które nie są zmiennymi losowymi.
Wskazówka. \(\Omega = \{1,...,6\}^3\), \(\Sigma = \s (A_0,A_1,A_2,A_3)\), gdzie \(A_i = \{\o : \o _i = 6\}\) dla \(i = 1,2,3\), \(A_0 = \Omega \setminus (A_1\cup A_2\cup A_3)\). Zmienną losową na przykład jest: \(S\) – suma „6", które wypadły na kostkach, \(X\) określona jako: \(X=1\), gdy na trzeciej kostce wypadłą „6", \(X= 0\) w przeciwnym przypadku. Zmienną losową nie jest, na przykład: \(S\) – suma uzyskanych oczek, \(X\) – liczba uzyskanych jedynek.
Pytanie 5.2 Salę oświetla 150 żarówek: po 15 żarówek w 10 rzędach. Wiadomo, że prawdopodobieństwo zepsucia się pojedynczej żarówki w ciągu nachodzącego tygodnia wynosi \(p= 0.06\). Wiemy też, że żarówki psują się niezależnie od siebie. Niech \(X\) oznacza liczbę rzędów, w których po tygodniu świeci co najmniej 14 żarówek. Wskaż rozkład \(X\).
Wskazówka. \(B(10,s)\), gdzie \(s = (1-p)^{15} + 15p(1-p)^{14} = 0.7510544178\).
Pytanie 5.3 W Przykładzie 3.2 \(X\), odpowiednio \(Y\), oznaczają liczbę kolejnych dni, w których nieprzerwanie sprząta Kaja, odpowiednio Leon, licząc od dnia zawarcia umowy. Znajdź rozkład \(X\) oraz rozkład \(Y\). Czy zmienne te są niezależne?
Wskazówka. \(X\) ma rozkład \(B(1, \frac 12)\). \(Y\) ma rozkład dany przez ciągi \(0,1,2,3, ...\), \(\frac {1}{2}, \frac {1}{2}\frac {1}{6}, \frac {1}{2}\frac {5}{6}\frac {1}{6}, \frac {1}{2}(\frac {5}{6})^2\frac {1}{6}, ...\). Zmienne są zależne, bo na przykład: \(P(X=0,Y=0) = 0\), \(P(X=0) = P(Y=0) = \frac 12\).
Pytanie 5.4 Niech \(G \subset \r ^2\) będzie zbiorem otwartym o mierze skończonej, \((X,Y)\) wektorem losowym o rozkładzie \(U(G)\). Podaj przykład takiego zbioru \(G\), ze \(X\), \(Y\) są: (a) niezależne, (b) zależne.
Wskazówka. Ad (a). \(G\) jest iloczynem kartezjańskim. Ad (b). \(G\) jest trójkątem.
Pytanie 5.5 Dane są dwie zmienne losowe niezależne \(X\), \(Y\) o rozkładzie \(U(0,1)\) każda. Znajdź dystrybuantę i gęstość zmiennych losowych \(\min (X,Y)\), \(\max (X,Y)\). Czy te zmienne są niezależne? Wskaż dystrybuantę rozkładu \(P_{\min (X,Y)|X = a}\) dla \(a \in (0,1)\).
Wskazówka.
\(F_{\min (X,Y)}(x) = 1 -(1-x)^2\), \(f_{\min (X,Y)}(x) = 2 - 2x\),
\(F_{\max (X,Y)}(x) = x^2\), \(f_{\max (X,Y)}(x) = 2x\),
\(P_{\min (X,Y)|X = a}\) ma dystrybuantę \(F\): \(F(x) = 0\) dla \(x < 0\), \(F(x) = x\) dla \(0\le x < a\), \(F(x) = 1\) dla \(a \le x\).
Pytanie 5.6 W schemacie klasycznym, gdy zbiór \(\Omega = \{1,...,6\}\), definiujemy zmienne losowe \(m, M\) jako \(m(i,j) = \min (i,j)\), \(M(i,j) =\max (i,j)\). Znaleźć: rozkład wektora losowego \((m,M)\) oraz rozkład \(P_{M|m =1}\).
Wskazówka.
\[ \begin {array}{ccccccc} m\backslash M & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\[1mm] 1 & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ 3 & 0 & 0 & 1 & 2 & 2 & 2 \\ 4 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 2 \\ 5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 6 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end {array} \]
\[ P_{(m,M)}(\{i,j\}) = \left \{\begin {array}{cc} \frac {1}{36} & \mbox { dla } i = j \\[1mm] \frac {1}{18} & \mbox { dla } i < j \\[1mm] 0 & \mbox { dla } i > j \end {array} \right . , \]
\(P_{M|m=1}\) jest dany przez ciągi \(1,2,3,4,5,6\) oraz \(\frac {1}{11},\frac {2}{11}, ..., \frac {2}{11}\).