Pytanie 10.1 Wykaż Uwagę 10.1
Wskazówka. Niech \(B \in \b (\rn )\). Wtedy \(X^{-1}(B) = (X^{-1}(B)\cap \{X = Y\}) \cup (X^{-1}(B)\cap \{X \neq Y\})\). Stąd \(P(X^{-1}(B)) = P(X^{-1}(B)\cap \{X = Y\})\). Podobnie: \(P(Y^{-1}(B)) = P(Y^{-1}(B)\cap \{X = Y\})\). Wystarczy zauważyć, że \(X^{-1}(B)\cap \{X = Y\}) = Y^{-1}(B)\cap \{X = Y\})\).
Pytanie 10.2 Wykaż, że granica stochastycznie zbieżnego ciągu zmiennych losowych jest wyznaczona jednoznacznie p.w.
Wskazówka. Załóżmy, że \(X_n \stackrel {s}{\to } X\) oraz \(X_n \stackrel {s}{\to } Y\). Wykażemy, że \(P(X= Y) = 1\). Ustalmy \(\ve >0\). Z nierówności trójkąta, \(|X - Y| \le |X - X_n| + |Y -X_n|\), widzimy, że \(\{|X - Y| > \ve \} \subset \{|X - X_n| > \frac {\ve }{2} \} \cup \{|Y - X_n| > \frac {\ve }{2} \}\). Stąd \(P(|X - Y| > \ve ) \le P(|X - X_n| > \frac {\ve }{2}) + P(|Y - X_n| > \frac {\ve }{2})\). Gdy \(n \to \infty \) prawa strona zmierza do 0, a stąd. \(P(|X - Y| > \ve ) = 0 \). Czyli dla każdego \(\ve > 0\) \(P(|X - Y| \le \ve ) = 1\). \(\{X = Y\} = \bigcap _{\ve > 0}\{|X - Y| \le \ve \}\).
Pytanie 10.3 Niech \(X_1,X_2,X_3, ...\) będzie ciągiem takich niezależnych zmiennych losowych, że \(P_{X_i} = B(1,p_i)\) dla \(i = 1,2,3, ...\). Wykazać, że:
(1) \(X_n \stackrel {s}{\to } 0 \rwn \lim _{n \to \infty } p_n = 0\).
(2) \(X_n \stackrel {1}{\to } 0 \rwn \sum _{n =1}^\infty p_n < \infty \).
Wskazówka. Ad (1). Niech \(\ve < 1\). Wtedy \(\{|X_n| \ge \ve \} = \{X_n = 1\}\)
Ad (2). \(\{X_n \to 0\} = \Omega \setminus \bigcap _N\bigcup _{n \ge N}\{X_n = 1\}\). Stosuje się Lemat Borela-Cantellego do zdarzeń \(A_n = \{X_n=1\}\), gdyż \(X_n \stackrel {1}{\to } 0 \rwn P(A) = 0\).
Pytanie 10.4 Niech \(X_n \stackrel {s}{\to } X\) i niech \(f :\r \to \r \) będzie funkcją jednostajnie ciągłą. Wykaż, że \(f(X_n) \stackrel {s}{\to } f(X)\). Jak można osłabić założenia, gdy wiemy, że \(X = c \in \r \)?
Wskazówka. Ustalmy \(\ve > 0\) i weźmy takie \(\delta > 0\), że \(|x - y| \le \delta \) implikuje \(|f(x) - f(y)| \le \ve \). W takim razie
\[ P(|X_n - X| \le \delta ) \le P(|f(X_n) - f(X)| \le \ve ) \]
i wystarczy przejść z \(n\) do nieskończoności.
Z dowodu widać, że gdy \(X = c\), lub nawet bardziej ogólnie, gdy \(X\) przyjmuje wartości w zbiorze zwartym, wystarczy założyć, że \(f\) jest ciągła na tym zbiorze.
Pytanie 10.5 Niech \(X_n \stackrel {1}{\to } X\) i niech \(f :\r \to \r \). Zaproponuj założenie dotyczące \(f\) gwarantujące, że \(f(X_n) \stackrel {1}{\to } f(X)\).
Wskazówka. Złóżmy, że \(P_X(B) = 0\), gdzie \(B = \{a \in \r : f \mbox { nie jest ciÄĚgÅĆa w } a\}\). Dla dowodu weźmy zbiór \(A = \{\o \in \Omega : X_n(\o ) \to X(\o )\}\). Wtedy dla \(\o \in A \cap (\Omega \setminus X^{-1}(B))\) zachodzi \(f(X_n(\o )) \to f(X(\o ))\), natomiast \(PA \cap (\Omega \setminus X^{-1}(B)) = 1\).
Pytanie 10.6 Niech \(X_1,X_2,X_3, ... \) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o takim samym rozkładzie. Wykaż, że jeżeli ciąg \(\frac {S_n}{n}\) jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1, to zmienne \(X_i\) mają skończoną nadzieję matematyczną \(m\) i \(\frac {S_n}{n} \stackrel {1}{\to } m\).
Wskazówka. Kolejno mamy: \(\frac {X_n}{n} = \frac {S_n}{n} - \frac {S_{n-1}}{n} \stackrel {1}{\to } 0\).
\(\{\frac {X_n}{n} \to 0\} \subset \bigcup _N \bigcap _{n \ge N}\{|X_n| < n\} = \Omega \setminus \bigcap _N \bigcup _{n \ge N}\{|X_n| \ge n\}\).
W związku z tym: \(P\left ( \bigcap _N \bigcup _{n \ge N}\{|X_n| \ge n\} \right ) =0\), więc z Lematu Borela-Cantellego \(\sum _{n=1}P(|X_n| \ge n) < \infty \). Ponieważ nasze zmienne losowe mają ten sam rozkład, to \(P(|X_n| \ge n) = P(|X_1| \ge n)\), więc \(\sum _{n=1}P(|X_1| \ge n) < \infty \). Z Lematu 10.18 otrzymujemy wiadomość, że \(E(|X_1|)\) jest skończona, a więc także \(m = E(X_1)\) jest skończona. MPWL dla i.i.d. kończy dowód.
Rachunek prawdopodobieństwa 2