Przykłady.
(1) \(\delta \)-Diraca, \(\delta _c\). Dla ustalonego \(c \in \rn \) definiujemy: \(\delta _c(A) = 1\), gdy \(c \in A\), \(\delta _c(A) = 0\), gdy \(c \notin A\), dla \(A \in {\cal B}(\rn )\).
\(\delta _3\)
(2) Jeżeli \(Q_1, \dots , Q_k\) są rozkładami prawdopodobieństwa, to funkcja \(Q : {\cal B}(\rn ) \to \r \): \(Q(A) = \sum _{i=1}^k \lambda _i Q_i(A)\), gdzie \(\sum _{i=1}^k \lambda _i = 1\) oraz \(\lambda _i > 0\), jest miarą probabilistyczną na \({\cal B}(\rn )\), czyli jest \(n\)-wymiarowym rozkładem.
\(0.6 \delta _0+0.4\delta _1\)
(3) Prawdopodobieństwo geometryczne (rozkład jednostajny): Niech \(W \in {\cal B}(\rn )\) będzie takim zbiorem, że \(0 < \mu _{L_n}(W) < \infty \). Definiujemy \(\di Q(A) = \frac {\mu _{L_n}(A \cap W)}{\mu _{L_n}(W)}\), dla \(W \in {\cal B}(\rn ) \).
\(W = [0,10]^2, Q(A)= \mbox {pole}(A\cap W )/100\)
Rozkłady (jednowymiarowe) mają ścisły związek z dystrybuantami.
Definicja – 4.2 Dystrybuantą nazywamy funkcję \(F\colon {\r }\str \r \), spełniającą następujące cztery warunki:
1. Dla każdego \(x \in \r \), \(0 \le F(x) \le 1\).
2. \(F\) jest funkcją niemalejącą, to znaczy:
\[x < y \Rightarrow F(x) \le F(y),\]
3. \(F\) jest prawostronnie ciągła, to znaczy:
\[\lim _{x\rightarrow a^+} F(x) = F(a)\]
dla każdego \(a \in \r \),
4. \(\lim _{x\rightarrow \infty } F(x) = 1\), \(\lim _{x\rightarrow -\infty } F(x) = 0\).
Twierdzenie – 4.3 Jeżeli \(Q\) jest rozkładem prawdopodobieństwa, to funkcja \(F\) zdefiniowana wzorem:
\(\seteqnumber{0}{4.}{0}\)\begin{equation} F(x) = Q(-\infty ,x]=Q((-\infty ,x]), \end{equation}
jest dystrybuantą. Mówimy wtedy, że rozkład \(Q\) ma dystrybuantę \(F\), co często zaznaczamy pisząc \(F_Q\) zamiast \(F\).
Dowód. Ad 1. Wynika natychmiast z własności prawdopodobieństwa.
Ad 2. Jeżeli \(x < y\), to \((-\infty ,x ] \subset (-\infty , y]\), a więc \(F(x) = Q(-\infty ,x ] \le Q(-\infty ,y ] = F(y)\).
Ad 3. Niech \(a \in \r \) oraz \(x_n\searrow a\), to znaczy \(\forall n \ x_{n+1} < x_n\), \(\lim _{n\to \infty }x_n = a\).
\(\di ( -\infty ,a] = \bigcap _{n = 1}^\infty (-\infty ,x_n]\) oraz \((-\infty ,x_{n+1} ) \subset (-\infty ,x_n)\).
\(F(a) = Q( -\infty ,a] = \lim _{n\to \infty } Q(-\infty ,x_n] = \lim _{n\to \infty }F(x_n)\).
To oznacza, że \(\lim _{x\rightarrow a^+} F(x) = F(a)\).
Ad 4. Podobnie jak wyżej. Wynika z faktu, że \(\bigcup _{n=1}^\infty (-\infty ,n] = \r \) oraz \(\bigcap _{n=1}^\infty (- \infty ,-n] = \O \) (ćwiczenie).
Zachodzi także twierdzenie odwrotne (dowód pomijamy).
Twierdzenie – 4.4 Jeżeli \(F\) jest dystrybuantą, to istnieje dokładnie jeden rozkład \(Q\), dla którego zachodzi wzór
\(\seteqnumber{0}{4.}{1}\)\begin{equation} F(x) = Q(-\infty ,x]=Q((-\infty ,x]), \end{equation}
Tak więc istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość (bijekcja) pomiędzy zbiorem rozkładów i zbiorem dystrybuant. Gdy rozkładowi \(Q\) odpowiada dystrybuanta \(F\), piszemy często \(F_Q\) oraz \(Q_F\). Zachodzą więc związki.
\(\seteqnumber{0}{4.}{2}\)\begin{equation} F_Q(x) = Q(-\infty ,x], \ \ \ \ F(x) = Q_F(-\infty ,x] \ \mbox { dla kaÅijdego } x \in \r . \end{equation}
Ponieważ dla każdych \(a,b \in \r \), \(a < b\) zachodzi
\[Q(a,b] = Q((-\infty ,b] \setminus (-\infty ,a] ) = Q(-\infty ,b] - Q(-\infty ,a],\]
to otrzymujemy następujący związek:
\(\seteqnumber{0}{4.}{3}\)\begin{equation} Q(a,b] = F_Q(b) - F_Q(a). \end{equation}
Przykłady dwóch rozkładów i ich dystrybuant:
rozkład
dystrybuanta
rozkład
dystrybuanta
Pytanie: W których punktach dystrybuanta jest ciągła?
Twierdzenie – 4.5 Niech \(Q\) będzie rozkładem prawdopodobieństwa, zaś \(F\) – jego dystrybuantą. Wówczas dla dowolnego \(a \in \r \):
\[F \; \textrm {jest ciÄĚgÅĆa w punkcie}\; a\: \Longleftrightarrow \: Q(a) = 0.\]
Bardziej ogólnie:
\[ Q(a) = F(a) - F(a)^-, \]
gdzie \(F(a)^-\) oznacza lewostronną granicę funkcji \(F\) w punkcie \(a\) (ponieważ \(F\) jest niemalejąca, więc granica ta istnieje).
Dowód. Weźmy ciąg \(x_n \nearrow a\) (to znaczy, że \(\{x_n\}\) jest ciągiem rosnącym, zbieżnym do \(a\)). Wtedy \((-\infty ,a) = \bigcup _n (-\infty ,x_n]\), a więc:
\[F(a)^- = \lim _{n\rightarrow \infty } F(x_n) = \lim _{n\rightarrow \infty } Q(-\infty ,x_n] = Q(-\infty ,a).\]
Stąd:
\[Q(a) = Q((-\infty ,a]\setminus (-\infty ,a)) = Q(-\infty ,a] - Q(-\infty ,a) = F(a) - F(a)^-.\]
\(\hfill { \Box }\)
Dla \(n >1 \) można też zdefiniować dystrybuantę i podać jej związek z rozkładem, jednak definicja nie jest automatycznym powtórzeniem sytuacji jednowymiarowej, gdyż w \(\rn \) nie ma naturalnego porządku.