Rachunek prawdopodobieństwa 1, 2
\(\newcommand{\footnotename}{footnote}\)
\(\def \LWRfootnote {1}\)
\(\newcommand {\footnote }[2][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\)
\(\newcommand {\footnotemark }[1][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\)
\(\newcommand \ensuremath [1]{#1}\)
\(\newcommand {\LWRframebox }[2][]{\fbox {#2}} \newcommand {\framebox }[1][]{\LWRframebox } \)
\(\newcommand {\setlength }[2]{}\)
\(\newcommand {\addtolength }[2]{}\)
\(\newcommand {\setcounter }[2]{}\)
\(\newcommand {\addtocounter }[2]{}\)
\(\newcommand {\cline }[1]{}\)
\(\newcommand {\directlua }[1]{\text {(directlua)}}\)
\(\newcommand {\luatexdirectlua }[1]{\text {(directlua)}}\)
\(\newcommand {\protect }{}\)
\(\def \LWRabsorbnumber #1 {}\)
\(\def \LWRabsorbquotenumber "#1 {}\)
\(\def \mathchar {\ifnextchar "\LWRabsorbquotenumber \LWRabsorbnumber }\)
\(\def \mathcode #1={\mathchar }\)
\(\let \delcode \mathcode \)
\(\let \delimiter \mathchar \)
\(\let \LWRref \ref \)
\(\renewcommand {\ref }{\ifstar \LWRref \LWRref }\)
\(\newcommand {\intertext }[1]{\text {#1}\notag \\}\)
\(\newcommand {\ep }{\varepsilon }\)
\(\newcommand {\ve }{\varepsilon }\)
\(\newcommand {\s }{\sigma }\)
\(\newcommand {\o }{\omega }\)
\(\newcommand {\f }{\varphi }\)
\(\newcommand {\vr }{\varrho }\)
\(\newcommand {\a }{\mathcal {A}}\)
\(\newcommand {\h }{\mathcal {H}}\)
\(\newcommand {\b }{\mathcal {B}}\)
\(\newcommand {\G } {\mathbb {G}}\)
\(\newcommand {\r } {\mathbb {R}}\)
\(\newcommand {\rn } {\mathbb {R}^n}\)
\(\newcommand {\Z } {\mathbb {Z}}\)
\(\newcommand {\z } {\mathbb {Z}}\)
\(\newcommand {\N } {\mathbb {N}}\)
\(\newcommand {\C } {\mathbb {C}}\)
\(\newcommand {\K } {\mathbb {K}}\)
\(\newcommand {\Q } {\mathbb {Q}}\)
\(\newcommand {\bx }{\mathbf {x}}\)
\(\newcommand {\by }{\mathbf {y}}\)
\(\newcommand {\bY }{\mathbf {Y}}\)
\(\newcommand {\p }{\mathbf {p}}\)
\(\newcommand {\P }{\mathbf {P}}\)
\(\let \leq \leqslant \)
\(\let \le \leqslant \)
\(\newcommand {\O }{\emptyset }\)
\(\newcommand {\imp }{\Longrightarrow }\)
\(\newcommand {\str }{\longrightarrow }\)
\(\newcommand {\rwn }{\Longleftrightarrow }\)
\(\newcommand {\di }{\displaystyle }\)
3.2 Zdarzenia niezależne
Niech (Ω, Σ, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną. Niech \(A,B \in \sigma \).
Zauważmy, że gdy \(P(A) > 0\) mamy natychmiastową równoważność:
\(A\), \(B\) są niezależne \(\rwn P(B|A) = P(B)\).
-
Przykład – 3.6
Rzucając dwiema kostkami łatwo sprawdzić, że:
Niezależnymi zdarzeniami są \(A\), \(B\) określone następująco: \(A\) – na pierwszej kostce wypadłą „6", \(B\) – na drugiej kostce wypadła liczba pierwsza.
Zależnymi zdarzeniami są \(A\), \(B\) określone następująco: \(A\) – suma oczek na kostkach jest \(\ge 10\), \(B\) – na drugiej kostce wypadła „5".
Zależnymi zdarzeniami są każde dwa zdarzenia rozłączne \(A\), \(B\), o ile \(P(A)P(B) >0\).
-
Definicja – 3.7 Zdarzenia \(A_1,\dots ,A_n \) są niezależne, \(\rwn \)
dla każdego podciągu \(A_{k_1},\dots ,A_{k_r}\) zachodzi:
\[ P(A_{k_1}\cap \dots \cap A_{k_r}) = P(A_{k_1})\cdot \dots \cdot P(A_{k_r}). \]
Zdarzenia \(A_1,A_2,A_3,\dots \) są niezależne, \(\rwn \)
dla każdego \(n\ge 2\) zdarzenia \(A_1,\dots ,A_n \) są niezależne.
