Ważniejsze rozkłady dyskretne i ciągłe
1. Rozkład jednopunktowy, \(\delta \)-Diraca, \(\delta _c\).
2. Rozkład jednostajny dyskretny.
3. Rozkład jednostajny ciągły.
4. Rozkład Bernoulliego (dwupunktowy), \((0,1,p)\) (\(B(1,p)\)).
5. Rozkład dwumianowy, \(B(n,p)\).
6. Rozkład Poissona, \(P_\lambda \).
7. Rozkład geometryczny \(G_p\).
8. Rozkład hipergeometryczny.
9. Rozkład Pascala.
10. Rozkład wykładniczy, \(E_\lambda \).
11. Rozkład Erlanga.
12. Rozkład normalny, \(N(m,\sigma )\).
List of probability distributions
Rozkład jednopunktowy, \(\delta _c\) Jest to rozkład taki, że \(P(c) =1\), \(c \in \r \).
Zmienna losowa o rozkładzie \(\delta _a \rwn \) stała \(= c\).
Formalnie: jeżeli \(X: \Omega \to \r \) jest zamienną losową, to
\(P_X = \delta _c \rwn P(X=c) = 1\).
\(E(X) = c\), \(D^2(X) = 0\).
Rozkład jednostajny dyskretny na zbiorze skończonym \(K\) Jet to rozkład zadany na zbiorze skończonym \(K = \{x_1,\dots , x_n\}\). jako \(Q(x_i) =\frac {1}{n}\) dla \(i = 1,\dots , n\).
\(X\) – liczba oczek na kostce symetrycznej ma rozkład jednostajny dyskretny.
\(\di E(X) = \bar {x_n} = \frac {1}{n}\sum _{i=1}^nx_i\), \(\di D^2(X) = \frac {1}{n}\sum _{i=1}^n\left (x_i - \bar {x_n}\right )^2 \).
Rozkład jednostajny, \(U(a,b)\). Niech \(a , b \in \r \), \(a < b\). Jest to rozkład o gęstości \(\frac {1}{b-a}I_{[a,b]}\).
Niewiele zjawisk podlega rozkładowi jednostajnemu.
Komputer „potrafi” generować liczby według rozkładu jednostajnego, co z kolei służy do generowania liczb z zadanego z góry innego rozkładu (dyskretnego lub ciągłego), patrz punkt .
\(\di E(X) =\frac {a+b}{2}\) \(\di D^2(X) = \frac {(b-a)^2}{12}\).
Dowód.
\[E(X) = \int _a^b x \frac {1}{b-a}\,dx = \frac {b-a}{2}.\]
\[ D^2(X) = E(X^2) - E(X)^2 = \int _a^b x^2 \frac {1}{b-a}\,dx - \left (\frac {a+b}{2}\right )^2 = ... = \frac {(b-a)^2}{12}. \]
Rozkład Bernoulliego, dwupunktowy – \((0,1,p)\) (\(B(1,p)\)). Niech \(0 < p < 1\). Jest to rozkład \(Q\), taki, że \(Q(0) = 1- p\), \(Q(1) = p\).
Gdy \(X\) jest wynikiem doświadczenia, które ma dokładnie dwa możliwe zakończenie (porażka - 0, lub sukces - 1), to \(X\) ma rozkład dwupunktowy.
\(\di E(X) = p\), \(\di D^2(X) = (1-p)p\).
Rozkład \(Q\) nazywamy rozkładem dwumianowym, jeżeli istnieją liczby \(n > 0\) oraz \(p\) i \(q\) takie, że \(0 <p,q <1\), \(p + q = 1\) oraz zachodzi równość:
\[ Q(k) = \binom {n}{k}p^kq^{n-k}\;\; \mbox { dla } k = 0,1,\dots ,n. \]
Twierdzenie – 8.1 Niech \(X_1,\dots , X_n\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o takim samym rozkładzie dwupunktowym \((0,1,p)\). Wtedy suma:
\[S_n = X_1 + \dots + X_n\]
ma rozkład dwumianowy \(B(n,p)\)
Dowód. Ustalmy \(k\), \(0 \le k \le n\). Zdarzenie \(\{S_n = k\}\) jest sumą rozłącznych zdarzeń polegających na tym, że dokładnie \(k\) spośród zmiennych losowych \(X_1, \dots , X_n\) przyjmuje wartość \(1\), a więc pozostałe \(n-k\) zmiennych przyjmuje wartość \(0\). Niech \(A_{i_1, \dots , i_k}\) będzie jednym z takich zdarzeń, gdzie \(i_1, \dots , i_k\) oznaczają numery tych zmiennych, które przyjmują wartość \(1\). Z kolei każde zdarzenie \(A_{i_1, \dots , i_k}\) jest iloczynem \(n\) zdarzeń postaci \(\{X_j = \ve _j\}\), gdzie \(\ve _j = 1\) lub \(\ve _j = 0\), a prawdopodobieństwa tych zdarzeń są równe odpowiednio \(p\) i \(q\). Z niezależności zmiennych \(X_1, \dots , X_n\) wynika, że:
\[P(A_{i_1, \dots , i_k} ) = p^kq^{n-k}.\]
Ponieważ wskaźniki \(i_1, \dots , i_k\) można wybrać na \(\binom {n}{k}\) sposobów, więc:
\[ P(S_n = k) = P\left (\bigcup _{i_1, \dots , i_k}A_{i_1, \dots , i_k}\right ) = \sum _{i_1, \dots , i_k}P(A_{i_1, \dots , i_k}) \]
\[ = \sum _{i_1, \dots , i_k}p^kq^{n-k} = \binom {n}{k}p^kq^{n-k}. \]
\[ E(X) = np, \hspace {1.5cm} D^2(X) = npq. \]
Dowód. Jest to wniosek z powyższego twierdzenia.
Losowanie ze zwracaniem Przypuśćmy, że pewna populacja składa się z \(N\) elementów. Niech \(N_0\) elementów tej populacji ma pewną własność, powiedzmy własność \(W\). Niech \(p = \frac {N_0}{N}\) Losujemy ze zwracaniem \(n\) elementów i oznaczamy przez \(X\) liczbę tych spośród nich, które mają własność \(W\). Widać, że zmienna losowa \(X\) ma rozkład dwumianowy \(B(n,p)\).
