Pytanie 9.1 Czy suma niezależnych zmiennych losowych o rozkładach normalnych ma rozkład normalny? Czy założenie niezależności jest istotne?
Wskazówka. Tak, można skorzystać z Twierdzenia 8.10. Jest istotne: \(X + (-X) = 0\).
Pytanie 9.2 Sformułuj odpowiednik Reguły 1.96, gdy \(\alpha = 0.01\).
Wskazówka. Reguła 2.58: Jeżeli zmienna losowa \(X\) ma rozkład normalny \(N(m,\sigma )\), to
\[ P(X \in (m - 2.58\sigma ,m + 2.58\sigma )) \cong 0.99.\]
Pytanie 9.3 Niech \(X_1, X_2\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie standardowym normalnym każda. Czy zmienne losowe \(X_1 -X_2, X_1+X_2\) są niezależne? Czy założenie normalności jest istotne?
Wskazówka. Są niezależne: można wykorzystać Twierdzenie 5.33, aby otrzymać gęstość wektora \((X_1 -X_2, X_1+X_2)\), a następnie stwierdzić, że jest ona iloczynem gęstości różnicy i sumy.
Założenie normalności jest istotne. Niech \(X_1\), \(X_2\) będą niezależne i mają rozkład \(B(1,\frac 12)\) każda. Gdy suma = 2, to różnica = 0. Formalnie: \(P(X_1+X_2 =2,X_1 - X_2=0) = \frac 14\), \(P(X_1+X_2 =2)P(X_1 - X_2=0) = \frac 14 \cdot \frac 12 = \frac 18\).
Pytanie 9.4
Pytanie 9.5 Partia ABC wie, że ma poparcie nie większe niż \(10\%\). Zamawia sondaż, aby stwierdzić czy zdobędzie co najmniej \(5\%\) poparcie. Chciałaby mieć \(99\%\) pewności, że wynik sondażu oddaje prawdziwe preferencje wyborców z dopuszczalnym błędem nie większym niż \(2\%\). Jak duża powinna być próbka ankietowanych osób?
Wskazówka.
\[ n \ge \left ( \frac {\Phi ^{-1} (1-\alpha )}{b} \right )^2\frac {9}{100} \cong 541.189443051267. \]
Pytanie 9.6 Pewna agencja prowadzi rekrutację pracowników w kilku różnych krajach, które stosują różne systemy punktowania, niemniej trudność używanych testów jest porównywalna. Agencja otrzymuje listy punktów uzyskanych przez kandydatów ze wszystkich krajach i na tej podstawie chce wybrać 100 najlepszych kandydatów. W jaki sposób może postąpić agencja, aby wybór był racjonalny?
Wskazówka. Każdy kraj przedstawia listę, powiedzmy \(x_1,x_2, ... , x_k\), gdzie \(x_i\) jest oceną punktową \(i\)-tego kandydata. Na podstawie tej listy można obliczyć średnią: \(\bar {x} = \frac {1}{k}\sum _{i=1}^kx_i\) oraz odchylenie standardowe z próby: \(s = \sqrt {\frac {1}{k}\sum _{i=1}^k(x_i - \bar {X})^2}\). Można wyznaczyć znormalizowane punkty: \(z_i = \frac {x_i - \bar {x}}{\hat {s}}\). Teraz można połączyć tak uzyskane listy ze wszystkich krajów, a następnie uporządkować malejąco całą listę i wybrać pierwszych 1000 kandydatów.