Pytanie 18.1 Znaleźć \(\Sigma ^{\frac {1}{2}}\), gdy \(\Sigma = \left [\begin {array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 4\end {array}\right ]\).
Wskazówka. \(\Sigma = \left [\begin {array}{cc} 1/\sqrt {5} & 2/\sqrt {5} \\ 2/\sqrt {5} & 4/\sqrt {5}\end {array}\right ]\).
Pytanie 18.2 (1 pkt.) Udowodnić Twierdzenie 18.5.
Wskazówka. Po rozpisaniu wzoru na \(cov(Y_i,Y_j)\) otrzymujemy:
\[ cov(W_i,W_j) = \sum _ka_{ik}\left (\sum _l cov(Y_k,Y_l)a_{jl}\right ). \]
W nawiasie jest \((k,j)\)-ty wyraz macierzy \(cov(Y) A^T\).
Pytanie 18.3 Udowodnić Twierdzenie 18.10.
Wskazówka.
\[ M_W(t) = E\left (e^{t^T(AY + b)}\right ) = e^{t^Tb} E\left (e^{(A^Tt)^TY}\right ) = e^{t^Tb}M_W(A^Tt). \]
Pytanie 18.4 Wyznacz funkcję generującą momenty dla rozkładu Poisson \(P_{\lambda }\).
Wskazówka.
\[ M_X(t) = E(e^{tX}) = \sum _{k = 0}^\infty e^{tk} e^{-\lambda }\frac {\lambda ^k}{k!} = e^{-\lambda } \sum _{k = 0}^\infty \frac {(\lambda e^t)^k}{k!} = e^{\lambda (e^t-1)}. \]
Pytanie 18.5 Znajdź macierz kowariancji wektora losowego \(X\) mającego rozkład o gęstości:
(a) \(f(x,y) = c e^{-x^2 - 4y^2}\), gdzie \(c\) jest odpowiednio dobraną stałą.
(b) \(f(x,y) = c e^{-x^2 - 4y^2+2xy-2x}\), gdzie \(c\) jest odpowiednio dobraną stałą.
Wskazówka. Ad (a). \(\di c = \frac {1}{\int _{\r ^2} f(x,y)\,d(x,y)} = \frac {\pi }{2}\), \(\di \Sigma = \left [\begin {array}{cc} 1/2 & 0\\ 0 & 1/8 \end {array}\right ].\)
Ad (b). \(\di c = \frac {1}{\int _{\r ^2} f(x,y)\,d(x,y)} \), \(\di \Sigma = \left [\begin {array}{cc} 2/3 & 1/6\\ 1/6 & 1/6 \end {array}\right ].\)
Pytanie 18.6 Znajdź macierz kowariancji wektora losowego \(X\) mającego rozkład o gęstości \(f = c\cdot g\cdot I_K\), gdzie \(K\) jest trójkątem o wierzchołkach \((0,0)\), \((0,1)\), \((1,1)\), \(g(x,y) = x^2\), a \(c\) jest odpowiednią stałą.
Wskazówka. \(c = 4\), \(\di \Sigma = \left [\begin {array}{cc} 2/75 & 1/75\\ 1/75 & 14/225 \end {array}\right ].\)