Przypomnimy twierdzenie Radona-Nikodyma, gdyż stanowi ono klucz w kolejnych rozważaniach dotyczących nadziei warunkowych.
Niech \(\a \) będzie \(\s \)-algebrą na zbiorze \(\Omega \).
Funkcję \(\lambda : \a \str \r \) nazywamy przeliczalnie addytywną, jeżeli dla każdego ciągu parami rozłącznych zbiorów \(A_1,A_2,A_3,... \in \a \)
\[ \lambda \left (\bigcup _{i=1}^\infty A_i \right ) = \sum _{i=1}^n \lambda (A_i). \]
Każda miara skończona, w szczególności każda miara probabilistyczna jest przeliczalnie addytywna.
Mówimy, że przeliczalnie addytywna funkcja \(\lambda \) jest absolutnie ciągła względem miary \(\mu : \a \str \, [0,\infty ]\), piszemy często \(\lambda \ll \mu \), jeżeli dla każdego \(A \in \a \) zachodzi implikacja:
\[ \mu (A) = 0 \ \imp \ \lambda (A) = 0. \]
Przykład – 13.8 Jeżeli \(\mu : \a \str [0, \infty ]\) jest miarą, a \(g : \Omega \str \, \r \) \(\a \)-mierzalną funkcją taką, że \(\int _\Omega g\,d\mu \in \r \), to \(\lambda \) zdefiniowana jako:
\(\seteqnumber{0}{13.}{2}\)\begin{equation} \lambda (A) = \int _A g\,d\mu \end{equation}
jest przeliczalnie addytywną funkcją, absolutnie ciągłą względem miary \(\mu \).
Przy pewnym założeniu powyższą implikację można odwrócić. Mówi o tym twierdzenie Radona-Nikodyma.
Mówimy, że miara \(\mu \) jest \(\sigma \)-skończona, jeżeli istnieją takie zbiory \(A_i \in \a \), że \(\Omega = \bigcup _{i=1}^\infty A_i\) oraz \(\mu (A_i) < \infty \).
Każda miara probabilistyczna jest \(\s \)-skończona. Miara Lebesgue’a jest \(\sigma \)-skończona.
Twierdzenie – 13.9 (Radon-Nikodym) Jeżeli \(\lambda \) jest przeliczalnie addytywną funkcją, absolutnie ciągłą względem \(\sigma \)-skończonej miary \(\mu \), to istnieje \(\a \)-mierzalna funkcja \(g : \Omega \str \, \r \), że dla każdego \(A \in \a \)
\[ \lambda (A) = \int _Ag\,d\mu . \]
Jeżeli \(\a \)-mierzalna funkcja \(h : \Omega \str \, \r \) spełnia dla każdego \(A \in \a \) ten sam warunek, to \(g\), \(h\) są równe \(\mu \)-prawie wszędzie, to znaczy to \(\mu (\{\o : g(\o ) \neq h (\o ) \} = 0\)
Dowód. Pomijamy.
Uwaga – 13.10 Poznaliśmy wcześniej definicję rozkładu ciągłego. Był to rozkład \(Q\), który ma gęstość, powiedzmy \(f\), czyli dla każdego boelowskiego zbioru \(A\): \(Q(A) = \int _A f\,dx\), gdzie całkowanie odbywa się względem miary Lebesgue’a, \(\mu _L\). Powyższe jednak oznacza, że \(Q \ll \mu _L\). Z twierdzenia Radona-Nikodyma wynika więc, że rozkład \(Q\) jest ciągły, wtedy i tylko wtedy, gdy miara \(Q\) jest absolutnie ciągła względem miary \(\mu _L\). Dlatego też część autorów używa terminologii „rozkład absolutnie ciągły" rezerwując termin „rozkład ciągły" do opisania sytuacji w której \(Q(\{a\}) = 0\) dla wszystkich \(a\).
W tym kursie pozostajemy przy częściej stosowanej terminologii.