Rachunek prawdopodobieństwa 1, 2
\(\newcommand{\footnotename}{footnote}\)
\(\def \LWRfootnote {1}\)
\(\newcommand {\footnote }[2][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\)
\(\newcommand {\footnotemark }[1][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\)
\(\newcommand \ensuremath [1]{#1}\)
\(\newcommand {\LWRframebox }[2][]{\fbox {#2}} \newcommand {\framebox }[1][]{\LWRframebox } \)
\(\newcommand {\setlength }[2]{}\)
\(\newcommand {\addtolength }[2]{}\)
\(\newcommand {\setcounter }[2]{}\)
\(\newcommand {\addtocounter }[2]{}\)
\(\newcommand {\cline }[1]{}\)
\(\newcommand {\directlua }[1]{\text {(directlua)}}\)
\(\newcommand {\luatexdirectlua }[1]{\text {(directlua)}}\)
\(\newcommand {\protect }{}\)
\(\def \LWRabsorbnumber #1 {}\)
\(\def \LWRabsorbquotenumber "#1 {}\)
\(\def \mathchar {\ifnextchar "\LWRabsorbquotenumber \LWRabsorbnumber }\)
\(\def \mathcode #1={\mathchar }\)
\(\let \delcode \mathcode \)
\(\let \delimiter \mathchar \)
\(\let \LWRref \ref \)
\(\renewcommand {\ref }{\ifstar \LWRref \LWRref }\)
\(\newcommand {\intertext }[1]{\text {#1}\notag \\}\)
\(\newcommand {\ep }{\varepsilon }\)
\(\newcommand {\ve }{\varepsilon }\)
\(\newcommand {\s }{\sigma }\)
\(\newcommand {\o }{\omega }\)
\(\newcommand {\f }{\varphi }\)
\(\newcommand {\vr }{\varrho }\)
\(\newcommand {\a }{\mathcal {A}}\)
\(\newcommand {\h }{\mathcal {H}}\)
\(\newcommand {\b }{\mathcal {B}}\)
\(\newcommand {\G } {\mathbb {G}}\)
\(\newcommand {\r } {\mathbb {R}}\)
\(\newcommand {\rn } {\mathbb {R}^n}\)
\(\newcommand {\Z } {\mathbb {Z}}\)
\(\newcommand {\z } {\mathbb {Z}}\)
\(\newcommand {\N } {\mathbb {N}}\)
\(\newcommand {\C } {\mathbb {C}}\)
\(\newcommand {\K } {\mathbb {K}}\)
\(\newcommand {\Q } {\mathbb {Q}}\)
\(\newcommand {\bx }{\mathbf {x}}\)
\(\newcommand {\by }{\mathbf {y}}\)
\(\newcommand {\bY }{\mathbf {Y}}\)
\(\newcommand {\p }{\mathbf {p}}\)
\(\newcommand {\P }{\mathbf {P}}\)
\(\let \leq \leqslant \)
\(\let \le \leqslant \)
\(\newcommand {\O }{\emptyset }\)
\(\newcommand {\imp }{\Longrightarrow }\)
\(\newcommand {\str }{\longrightarrow }\)
\(\newcommand {\rwn }{\Longleftrightarrow }\)
\(\newcommand {\di }{\displaystyle }\)
8.4 Rozkład geometryczny, \(G_p\).
Rozkład \(Q\) jest rozkładem geometrycznym, jeżeli istnieją liczby \(p,\,q\), \(0<p\), \(q <1\), \(p + q = 1\) takie, że
\[ Q(k) = q^{k-1}p, \mbox { dla } k = 1,2,3,\dots \]
-
Twierdzenie – 8.5 Niech \(X_1,X_2,X_3,\dots \) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o takim samym rozkładzie dwupunktowym \((0,1,p)\). Wtedy funkcja
\[T =\min \{n \ge 1: X_n = 1\},\]
nazywana czasem oczekiwania na pierwszy sukces w nieskończonym ciągu prób Bernoulliego jest zmienną losową o rozkładzie geometrycznym \(G_p\).
Dowód. Zauważmy, że zdarzenie \(\{T = n\}\) jest takie samo jak zdarzenie \(\{X_1 = 0,\dots ,X_{n-1} = 0, X_n = 1\}\). Z niezależności zmiennych losowych \(X_i\) otrzymujemy
\[ P(T=n) = P(X_1 = 0,\dots ,X_{n-1} = 0, X_n = 1) = \]
\[ P(X_1 = 0)\cdot \dots \cdot P(X_{n-1} = 0)\cdot P(X_n = 1) = q^{n-1}p. \]
\(\hfill { \Box }\)
\(\di E(X) = \frac {1}{p}, \) \(\di D^2(X) = \frac {1-p}{p^2 }\)
Dowód. Wiadomo, że
\[ \sum _{i=0}^\infty x^i = \frac {1}{1-x}, \ \mbox { dla } |x| < 1. \]
Po zróżniczkowaniu otrzymujemy:
\[ \sum _{i=1}^\infty ix^{i-1} = \frac {1}{(1-x)^2}, \ \mbox { dla } |x| < 1. \]
Teraz, biorąc \(x = 1-p\) otrzymujemy:
\[E(X) = \sum _{i=1}^\infty i(1-p)^{i-1}p = p\frac {1}{p^2} = \frac {1}{p}. \]
Wariancję oblicza się podobnie (ćwiczenie). \(\Box \)
