Dany jest ciąg \(X_1, \dots , X_n\) zmiennych losowych określonych na przestrzeni probabilistycznej (Ω, Σ, P ) .
Definicja – 5.22 Mówmy, że \(X_1, \dots , X_n\) są niezależne \(\rwn \) dla każdych zbiorów borelowskich, \(B_i \in {\cal B}(\r )\), \(i =1, \dots , n\)
\[ P(X_1 \in B_1, \dots , X_n \in B_n) = P(X_1 \in B_1)\cdot \, \dots \, \cdot P(X_n \in B_n). \]
Przykład – 5.23
Rozważmy schemat klasyczny, gdzie \(\Omega = \{1,\dots ,8\}^2\).
Zmienne losowe \(X_1\), \(X_2\) zdefiniowane jako \(X_1(i,j) = i\), \(X_2(i,j) = j\) są niezależne.
Zmienne losowe \(Y_1\), \(Y_2\) zdefiniowane jako \(Y_1(i,j) = i\), \(Y_2(i,j) = i+j\) są zależne: \(P(Y_1 = 2, Y_2 = 10) = 0\), \(P(Y_1 = 2)\cdot P(Y_2 = 10) = 1/6 \cdot 3/36\).
Załóżmy bez straty ogólności, że \(n= 2\).
Dowód. „\(\imp \)” Pamiętamy, że iloczyn kartezjański dwóch miar probabilistycznych, powiedzmy \(Q_1\), \(Q_2\), jest jednoznacznie określony przez warunek \((Q_1\times Q_2)(A_1 \times A_2) = Q_1(A_1) \cdot Q_2(A_2)\), dla dowolnych mierzalnych \(A_1\), \(A_2\).
Tutaj dla dowolnych \(B_1, B_2 \in {\cal B}(\r )\) mamy: \(P_{(X_1,X_2)}(B_1 \times B_2) = P(X_1 \in B_1,X_2 \in B_2) = P(X_1 \in B_1)\cdot P(X_2 \in B_2) = P_{X_1}(B_1) \cdot P_{X_2}(B_2)\). Czyli \(P_{(X_1,X_2)}\) jest iloczynem kartezjańskim \(P_{X_1}\), \(P_{X_2}\).
„\(\Longleftarrow \)" Oczywiste. \(\Box \)
Twierdzenie – 5.25 Niech \((X,Y)\) będzie będzie wektorem o dyskretnym rozkładzie 2-wymiarowym danym przez \((\{(x_i,y_j)\},\{ p_{ij}\} )\). Czyli \(P(X = x_i,Y = y_j) = p_{ij}\). Wtedy:
\[ X, Y \mbox { sÄĚ niezleÅijne } \rwn \ \forall i, j \ p_{ij} = p_{i.} p_{.j}. \]
Dowód. „\(\imp \)” \(p_{ij} = P(X = x_i,Y = y_j) = P(X=x_i) P(Y=y_j) = p_{i.} p_{.j}\).
„\(\Longleftarrow \)” Niech \(A\) oraz \(B\) będą zbiorami borelowskimi.
\(\di P(X\in A,Y \in B) = \sum _{(i,j): (x_i,y_j) \in A\times B} p_{ij} = \sum _{i,j: x_i\in A,y_j \in B} p_{i.}p_{.j} = \sum _{i: x_i \in A}p_{i.} \sum _{j: y_j \in B}p_{.j} =\) \(P(X \in A)P(Y \in B)\).
\(\Box \)
Twierdzenie – 5.26 Niech \((X,Y)\) będzie będzie wektorem o ciągłym rozkładzie 2-wymiarowym o gęstości \(f\) Wtedy:
\[ X, Y \mbox { sÄĚ niezleÅijne } \rwn \ \forall x, y \in \r \ f(x,y) = f_X(x) f_Y(y). \]
Dowód. Twierdzenie Fubiniego \(\Box \)
Uwaga – 5.27 Jeżeli wektor losowy \((X,Y)\) ma rozkład dyskretny, lub rozkład ciągły, a zmienne losowe \(X\), \(Y\) są niezależne, to wszystkie rozkłady warunkowe są równe rozkładom brzegowym.
Prostą ilustację powyższego twierdzenia i uwagi stanowi następujący:
Przykład – 5.28 Załóżmy, że wektor losowy \((X,Y)\) ma rozkład jednostajny na prostokącie \([a,b]\times [c,d]\). W takim razie \((X,Y)\) ma gęstość:
\[ f_{(X,Y)} = \frac {1}{(b-a)(d-c)}I_{[a,b]\times [c,d]}, \]
gdzie \(I_{[a,b]\times [c,d]}\) oznacza funkcję charakterystyczną prostokąta \([a,b]\times [c,d]\). Jest ona iloczynem funkcji charakterystycznych przedziałów \([a,b]\) oraz \([c,d]\), mamy więc:
\[ f_{(X,Y)}(x,y) = f_X(x)\cdot f_Y(y). \]
Wtedy też \(f_{Y|X=x} = f_Y\) oraz \(f_{X|Y=y} = f_X\).