Nadzieja warunkowa \(E(Y|X)\) jest zmienną losową, więc warto się pytać o jej rozkład. Nieraz odpowiedź jest prosta. Jak pamiętamy \(E(Y|X) = \alpha (X)\), \(\alpha (x) = E(Y|X=x)\). Jeżeli więc znamy rozkład \(X\) ora \(]alpha\) możemy na tej podstawie starać się wyznaczać rozkład \(E(Y|X)\). Na przykład widać, że w przypadku, gdy \(X\) ma rozkład dyskretny wyznaczony przez ciągi \(\{x_i\}, \{p_i\}\) to \(E(Y|X)\) ma rozkład dyskretny wyznaczony przez ciągi \(\{x_i\}, \{p_i\}\). Natomiast, gdy \(X\) ma rozkład ciągły, sytuacja jest bardziej skomplikowana.
Przykład – 13.27 Niech \(X\), \(Y\) oznaczają liczby oczek uzyskane w rzucie parą kostek. Niech \(Min = \min (X,Y)\). Wskazać rozkład \(E(X|Min)\).
Można wyznaczyć rozkład wektora losowego \((X,Min)\), następnie dla każdego \(m = 1,...,6\) wyznaczyć \(P(Min = m)\) oraz rozkłady warunkowe \(P_{X|Min = m}\) i na tej podstawie \(E(X|Min = m)\). Zmienna losowa \(E(X|Min)\) ma rozkład skupiony w punktach \(E(X|Min = m)\) z prawdopodobieństwami \(P(Min = m)\). Są to więc ciągi \(\frac {26}{11}, \frac {28}{9}, \frac {27}{7}, \frac {23}{5}, \frac {16}{3}, 6\) oraz \(\frac {11}{36}, \frac {9}{36}, \frac {7}{36}, \frac {5}{36}, \frac {3}{36}, \frac {1}{36}\).
Przykład – 13.28 Zmienna losowa \(X\) ma rozkład \(U(-\pi ,\pi )\). Wskażemy rozkłady \(E(\cos X|X)\) oraz \(E(X|\cos X)\).
Cosinus jest funkcją borelowską, więc \(\cos X\) jest \(\a \)-mierzalna, więc
\[E(\cos X|X) = \cos X E(1|X) = \cos X.\]
Ta zmienna losowa ma rozkład ciągły, patrz Przykład 5.30.
Jeżeli \(\cos X = y \in (-1,1)\), to \(X\) przyjmuje dwie wartości, których średnią jest 0. Wydaje się więc, że \(E(X|\cos X)\) może być równe 0. Sprawdzamy więc czy funkcja stale równa 0 spełnia warunki (M) oraz (C) spełniane przez \(E(X|\cos X)\). (M) jest oczywisty. Weźmy teraz dowolny zbiór borelowski \(A \in \s (\cos \circ X)\). \(A\) jest więc postaci \(X^{-1}(\cos ^{-1}(B))\), gdzie \(B\) jest borelowski. Ze względu na parzystość cosinusa \(\cos ^{-1}(B))\) jest symetryczny względem 0 i wtedy \(\int _A E(X|\cos X)\,dP = \int _A X\,dP = \int _{\cos ^{-1}(B)}\frac {1}{2\pi } I_{(-(\pi ,\pi )}(x)\,dx = 0 = \int _A 0\,dP\). Jest więc spełniony warunek (C). Ostatecznie więc \(E(X|\cos X) = 0\) ma rozkład jednopunktowy.