Rachunek prawdopodobieństwa 1, 2
\(\newcommand{\footnotename}{footnote}\)
\(\def \LWRfootnote {1}\)
\(\newcommand {\footnote }[2][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\)
\(\newcommand {\footnotemark }[1][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\)
\(\newcommand \ensuremath [1]{#1}\)
\(\newcommand {\LWRframebox }[2][]{\fbox {#2}} \newcommand {\framebox }[1][]{\LWRframebox } \)
\(\newcommand {\setlength }[2]{}\)
\(\newcommand {\addtolength }[2]{}\)
\(\newcommand {\setcounter }[2]{}\)
\(\newcommand {\addtocounter }[2]{}\)
\(\newcommand {\cline }[1]{}\)
\(\newcommand {\directlua }[1]{\text {(directlua)}}\)
\(\newcommand {\luatexdirectlua }[1]{\text {(directlua)}}\)
\(\newcommand {\protect }{}\)
\(\def \LWRabsorbnumber #1 {}\)
\(\def \LWRabsorbquotenumber "#1 {}\)
\(\def \mathchar {\ifnextchar "\LWRabsorbquotenumber \LWRabsorbnumber }\)
\(\def \mathcode #1={\mathchar }\)
\(\let \delcode \mathcode \)
\(\let \delimiter \mathchar \)
\(\let \LWRref \ref \)
\(\renewcommand {\ref }{\ifstar \LWRref \LWRref }\)
\(\newcommand {\intertext }[1]{\text {#1}\notag \\}\)
\(\newcommand {\ep }{\varepsilon }\)
\(\newcommand {\ve }{\varepsilon }\)
\(\newcommand {\s }{\sigma }\)
\(\newcommand {\o }{\omega }\)
\(\newcommand {\f }{\varphi }\)
\(\newcommand {\vr }{\varrho }\)
\(\newcommand {\a }{\mathcal {A}}\)
\(\newcommand {\h }{\mathcal {H}}\)
\(\newcommand {\b }{\mathcal {B}}\)
\(\newcommand {\G } {\mathbb {G}}\)
\(\newcommand {\r } {\mathbb {R}}\)
\(\newcommand {\rn } {\mathbb {R}^n}\)
\(\newcommand {\Z } {\mathbb {Z}}\)
\(\newcommand {\z } {\mathbb {Z}}\)
\(\newcommand {\N } {\mathbb {N}}\)
\(\newcommand {\C } {\mathbb {C}}\)
\(\newcommand {\K } {\mathbb {K}}\)
\(\newcommand {\Q } {\mathbb {Q}}\)
\(\newcommand {\bx }{\mathbf {x}}\)
\(\newcommand {\by }{\mathbf {y}}\)
\(\newcommand {\bY }{\mathbf {Y}}\)
\(\newcommand {\p }{\mathbf {p}}\)
\(\newcommand {\P }{\mathbf {P}}\)
\(\let \leq \leqslant \)
\(\let \le \leqslant \)
\(\newcommand {\O }{\emptyset }\)
\(\newcommand {\imp }{\Longrightarrow }\)
\(\newcommand {\str }{\longrightarrow }\)
\(\newcommand {\rwn }{\Longleftrightarrow }\)
\(\newcommand {\di }{\displaystyle }\)
18.2 Nadzieja matematyczna i macierz kowariancji
Niech \(X:\Omega \str \rn \) będzie wektorem losowym. Czyli
\[ X = \left [\begin {array}{l} X_1\\ X_2 \\ \vdots \\X_n \end {array} \right ], \]
gdzie \(X_i\) są zmiennymi losowymi.
Określamy nadzieję matematyczną oraz kowariancję wektora losowego:
-
Definicja – 18.4
\[ \mu = E(X) = \left [\begin {array}{l} E(X_1)\\ E(X_2) \\ \vdots \\ E(X_n) \end {array} \right ], \ \ \Sigma = cov(X) = \left [\begin {array}{lll} cov(X_1,X_1) & \dots & cov(X_1,X_n) \\ \dots & \dots
& \dots \\ \dots & \dots & \dots \\ cov(X_n,X_1) & \dots & cov(X_n,X_n) \end {array} \right ]. \]
Przypominamy: \(\di cov(X_i,X_j) = E((X_i - E(X_i))\cdot (X_j- E(X_j)))\). Mamy więc natychmiast:
\[ \Sigma = \Sigma ^T. \]
-
Twierdzenie – 18.5 \(A \in M(m,n), b \in \r ^m,\ \ W = AX +b \imp \)
\[ E(W) = AE(X) + b, \ \ \ \ \ cov(W) = A\,cov(X)\,A^T.\]
Dowód. (ćwiczenie).
Dowód. Niech \(a \in \rn \). Określamy zmienną losową: \(W = a^TX\).
Jej wariancja \(D^2(W) \ge 0\). Ale: \(D^2(W) = cov(W) = a^Tcov(X)a\). \(\Box \)
Dowód. Nie wprost.
Niech \(a \in \rn \setminus \{0\}\) będzie takie, że \(a^T cov(X) a = 0\). Niech jak poprzednio \(W = a^TX\).
Ponieważ \(D^2(W) = 0\), to \(W\) jest stała p.w. Czyli istnieje \(c \in \rn \), takie, że \(P(W= c) =1\). Wtedy jednak \(P(a^TX = c) = 1\). Czyli \(P(X \in M) =1\), gdzie \(M = \{y \in \rn : a^Ty = c\}\) jest
przestrzenią afiniczną, dim \(M = n-1\). Ale to prawdopodobieństwo można też inaczej obliczyć, gdyż \(X\) ma gęstość, powiedzmy \(f: \rn \str \r \). Mianowicie:
\(\di P(X \in M) = \int _M f\,dx = 0\), gdyż miara Lebesgue’a każdej właściwej podprzestrzeni afinicznej równa się zeru. \(\Box \)
