Rachunek prawdopodobieństwa 1, 2

8.2 Rozkład Poissona – \(P_{\lambda }\)

Rozkład \(Q\) jest rozkładem Poissona, jeżeli istnieje taka liczba \(\lambda > 0\), że:

\[ Q(k) = e^{-\lambda }\,\frac {\lambda ^k}{k!}\;\; \mbox { dla } k = 0,1,2,\dots \]

\(E(X) = \lambda \), \(D^2(X) = \lambda \).

Dowód.

\begin{eqnarray*} E(X) = \sum _{k=0}^\infty k e^{-\lambda }\,\frac {\lambda ^k}{k!} = \lambda \sum _{k=1}^\infty k e^{-\lambda }\,\frac {\lambda ^{k-1}}{k!} = \lambda e^{-\lambda }\sum _{k=1}^\infty \,\frac {\lambda ^{k-1}}{(k-1)!} = \\ \lambda e^{-\lambda }\sum _{k=0}^\infty \,\frac {\lambda ^{k}}{k!} = \lambda e^{-\lambda } e^{\lambda } = \lambda . \end{eqnarray*}

Podobnie dla wariancji (ćwiczenie).   \(\Box \)

Wiele zjawisk podlega rozkładowi Poissona. Zgodność taka została zaobserwowana w wielu konkretnych sytuacjach praktycznych.

Wniosek. \(X\) – liczba śmiertelnych wypadków w ciągu jednego roku w korpusie armii pruskiej ma rozkład Poissona \(P_\lambda \), \(\lambda = 0.61\).

Następujące twierdzenie mówi o tym, że rozkład Poissona jest w pewnym sensie granicą rozkładów dwumianowych. W szczególności, gdy mamy do czynienia z dużą \((n >100)\) liczbą niezależnych prób Bernoulliego, z jednakowym, małym \((p <0.1)\) prawdopodobieństwem sukcesu każda, to liczba wszystkich sukcesów ma niemal dokładnie rozkład Poissona z parametrem \(\lambda = np\). Istnieją dość dokładne oszacowania błędu, jaki popełniamy przybliżając rozkład dwumianowy rozkładem Poissona.

Dowód. Oznaczając \(\lambda _n = np_n\), mamy równość

\[ \binom {n}{k}p_n^k(1-p_n)^{n-k} = \frac {\lambda _n^k}{k!}\cdot \frac {n(n-1)\cdot \dots \cdot (n-k+1)}{n^k}\cdot \left (1- \frac {\lambda _n}{n}\right )^n\cdot \left (1-\frac {\lambda _n}{n}\right )^{-k}\!\!. \]

Ponieważ \(k\) jest ustalone, to ostatni czynnik zmierza do 1. Drugi czynnik jest równy \(1\cdot (1 - \frac {1}{n}) \cdot \dots \cdot (1- \frac {k-1}{n})\), więc też zmierza do 1. Istotne są czynniki pierwszy oraz trzeci i zmierzają one odpowiednio do \(\frac {\lambda ^k}{k!}\) oraz \(e^{-\lambda }\).   

Warto porównać obydwa rozkłady dla wybranych parametrów.

Dowód. Niech \(X\) ma rozkład \(P_\lambda \), a \(Y\) rozkład \(P_\mu \). Niech \(k \ge 0\) będzie ustalone. \(\di P(X+Y = k) = P(\bigcup _{i+j = k} (X=i, Y=j)) = \sum _{i+j = k}P(X=i)P(Y=j) = \) \(\sum _{i = 0}^k P(X=i)P(Y=k-i) = \sum _{i = 0}^k e^{-\lambda } \frac {\lambda ^i}{i!} e^{-\mu } \frac {\mu ^{k-i}}{(k-i)!} = \)

\(\di e^{-(\lambda + \mu )} \sum _{i = 0}^k \frac {\lambda ^i \mu ^{k-i}}{i!(k-i)!} = e^{-(\lambda + \mu )}\frac {(\lambda +\mu )^k}{k!} \).   \(\Box \)