Pytanie 19.1 Czy można tak dobrać stałą \(c\), że funkcja \(f\): \(f(x,y) = ce^{-2^2 - 3y^2 + 2x}\) jest gęstością rozkładu normalnego? Uzasadnij.
Wskazówka. Tak. Dla \(\di c = \frac {1}{\int _{\r ^2}f(x,y)\,d(x,y)}\) (jest dodatnia) \(f\) jest gęstością pewnego rozkładu \(Q\). Obliczamy \(\di M_Q(t) = e^{\frac {1}{2}t_1 + \frac 18 t_1^2 + \frac {1}{12}t_2^2}\). Widać, że jest to funkcja tworząca momenty rozkładu normalnego o parametrach \(\di \mu = \left [\begin {array}{c} 1/2 \\ 0 \end {array}\right ]\), \(\Sigma = \left [\begin {array}{cc} 1/8 & 0 \\ 0 & 1/12\end {array}\right ]\). Warto użyć Maple.
Pytanie 19.2 Wektor losowy o współrzędnych \(S\), \(T\) ma rozkład jednostajny na kwadracie \([0,1]^2\).
(1) Wskaż dwoma sposobami nadzieję matematyczną oraz macierz kowariancji wektora o współrzędnych \(S+T\), \(S-T\).
(2) Czy zmienne losowe \(S+T\), \(S-T\) są niezależne?
Wskazówka. Ad (1) Sposób 1. Poprzez Twierdzenie 11.20 otrzymujemy gęstość wektora o współrzędnych \(S+T\), \(S-T\) (rozkład jednostajny na kwadracie \((0,0), (1,-1), (2,0), (1,1)\)) i całkując wyznaczamy wszystkie parametry.
Sposób 2. Twierdzenie 11.5 – dużo szybszy.
\[ \mu = \left [\begin {array}{c} 0 \\ 0 \end {array}\right ], \ \ \ \Sigma = \left [\begin {array}{cc} \frac 16 & 0 \\ 0 & \frac 16 \end {array}\right ]. \]
Sposób 3 (na siłę). Można bezpośrednio wyliczyć sześć powyższych cg parametrów.
Sposób 4. Wyznaczając funkcje generujące momenty.
\[ \mu = \left [\begin {array}{c} 1 \\ 0 \end {array}\right ], \ \ \ \Sigma = \left [\begin {array}{cc} \frac 16 & 0 \\ 0 & \frac 16 \end {array}\right ]. \]
Ad. (2) Są zależne. \(\{S+T > 1.5\}\) oraz \(\{S-T < 0.5\}\) są rozłączne i mają dodatnie prawdopodobieństwa.
Pytanie 19.3 Wskaż rozkład wektora \((X,Y)\) oraz rozkład warunkowy \(P_{X|Y=y}\), gdy wiemy, że \(P_X = N(m,\s )\) oraz \(P_{Y|X=x} = N(x,\s _x)\), gdzie \(m\), \(\s > 0\), \(\s _x > 0\) są znane.
Wskazówka. Jest to w istocie Przykład 11.26 z innymi oznaczeniami.
\[ P_{\left [\begin {array}{c} X \\ Y \end {array}\right ]} = M_2\left (\left [\begin {array}{c} m \\ m \end {array}\right ], \left [\begin {array}{cc} \sigma ^2 & \sigma ^2 \\ \sigma ^2 & \sigma ^2 +\sigma _x^2 \end {array}\right ]\right ), \]
\[ P_{X|Y=y} = N\left (\frac {m\s _x^2 + y \s ^2}{\s ^2+\s _x^2},\ \frac {\s _x \s }{\sqrt {\s ^2+\s _x^2}} \right ). \]
Pytanie 19.4 Wektor losowy \(Y\) ma rozkład normalny \(N_n(\s I_n)\), gdzie \(\s > 0\) jest dane, a \(I_n\) jest macierzą identycznościową. Wykaż, że wektor \(W = AY\) ma też rozkład \(N_n(m,\s I_n)\), gdy \(A\) jest macierzą izometrii.
Wskazówka. Jako macierz izometrii \(A\) spełnia warunek \(AA^T = I_n\).
Pytanie 19.5 Niech wektor \(X\) o współrzędnych \(\xi ,\eta \) ma rozkład ciągły normalny. Wykaż, że proste regresji są prostopadłe, wtedy i tylko wtedy, gdy \(\xi \), \(\eta \) są niezależne.
Wskazówka. Po rozpisaniu równań prostych regresji \(y = h(x)\), \(x = g(y)\) otrzymujemy wzór na iloczyn skalarny wektorów do nich prostopadłych: \((\s _{\xi }^2+\s _{\eta }^2)\varrho \), co kończy dowód, gdyż obydwa wtunko są równoważne warunkowi \(\varrho = 0\).
Pytanie 19.6 Znaleźć \(E(X + Y +Z|X - 2Y)\), gdzie \(X\), \(Y\), \(Z\) są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie \(N(m,1)\) każda, \(m \in \r \).
Wskazówka. \(E(X + Y +Z|X - 2Y) = E(X + Y|X - 2Y) + E(Z|X - 2Y)\). Z niezależności drugi składnik \(= E(Z) = m\). Wyznaczamy pierwszy składnik.
Wektor \(\left [ \begin {array}{c}X \\ Y \end {array}\right ] \) ma rozkład \(N_3\left ( \left [ \begin {array}{c}m \\ m \end {array}\right ] , \left [ \begin {array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1 \end {array}\right ] \right )\).
Wektor losowy \(\left [ \begin {array}{c}X + Y\\ X -2Y \end {array}\right ] = A\left [ \begin {array}{c}X \\ Y\end {array}\right ]\), gdzie \(A = \left [ \begin {array}{cc}1 & 1\\ 1& -2 \end {array}\right ]. \) Mamy więc:
\(\mu = A\left [ \begin {array}{c}m \\ m \end {array}\right ] \left [ \begin {array}{c}2m \\ -m \end {array}\right ] , \ \ \ \Sigma = AI_2A^T = \left [ \begin {array}{cc}1 & 1\\ 1& -2 \end {array}\right ] \left [ \begin {array}{cc}1 & 1 \\ 1 & -2 \end {array}\right ] = \left [ \begin {array}{cc} 2 & -1 \\ -1 & 5 \end {array}\right ] \).
Zgodnie z Twierdzeniem 19.7:
\(E(X + Y|X-2Y) = 2m + \frac 15 (X-2Y +m) \).
W końcu: \(E(X + Y+Z|X-2Y) = \frac {14}{5}m -\frac 15 (X-2Y) \).