Pytanie 6.1 Podaj przykłady zmiennych losowych o rozkładzie dyskretnym oraz o rozkładzie ciągłym dla których nadzieja matematyczna nie jest skończona.
Wskazówka. \(P(X=n) = \frac {\pi ^2}{6n^2}\), \(n = 1,2,3, ...\).
Gęstość \(f\): \(f(x) = 0 \) dla \(x < 1\), \(f(x) = \frac {1}{x^2}\) dla \(x \ge 1\).
Pytanie 6.2 Podaj przykłady zmiennych losowych o rozkładzie dyskretnym oraz o rozkładzie ciągłym dla których nadzieja matematyczna jest skończona, ale wariancja jest nieskończona
Wskazówka. \(P(X=n) = \frac {1}{\zeta (3)}\frac {1}{n^3}\), \(n = 1,2,3, ...\), gdzie \(\zeta (3) = \sum _{n=1}^\infty \frac {1}{n^3}\).
Gęstość \(f\): \(f(x) = 0 \) dla \(x < 1\), \(f(x) = \frac {2}{x^3}\) dla \(x \ge 1\).
Pytanie 6.3 Dane są niezależne zmienne losowe o rozkładzie \(U(0,1)\) każda. Oblicz dwoma sposobami \(E(\min (X,Y))\).
Wskazówka. Niech \(Z = \min (X,Y)\).
Sposób 1. \(F_Z(z) = 1 - (1-z)^2\), \(f_Z(z) = 2 - 2z\), \(E(Z) = \int _0^1 zf_Z(z)\,dz = \frac 13\).
Sposób 2. \(E(Z) = \int _{[0,1]^2}xy\min (x,y)\,d(x,y) = \frac 13\).
Pytanie 6.4 Przeprowadź dowód Twierdzenia 6.17 w przypadku, gdy \((X,Y)\) ma rozkład dyskretny na zbiorze skończonym.
Wskazówka. \(X\) ma rozkład zadany przez ciągi:
\(x_1,x_2, \dots , x_n\), \(p_1,p_2, \dots , p_n\). Czyli \(P(X = x_i) = p_i\).
\(Y\) ma rozkład zadany przez ciągi:
\(y_1,y_2, \dots , y_m\), \(q_1,q_2, \dots , q_m\). Czyli \(P(Y= y_j) = q_j\).
Wtedy rozkład łączny wektora losowego \((X,Y)\) ma rozkład skupiony w punktach \((x_i,y_i)\), a z niezależności wynika, że \(P((X,Y) = (x_i,y_j)) = P(X = x_i,Y = y_j) = P(X = x_i)P(Y=y_j) = p_i q_j \).
Sposób 1. \(XY\) przyjmuje wartości \(z_k\). przy czym \(P(XY = z_k) = \sum _{i,j: z_k = x_iy_j}p_iq_j\). Mamy więc
\[ E(XY) = \sum _k z_kP(XY = z_k) = \sum _{i,j}x_i y_j p_i q_j = \sum _i x_i p_i \sum _j y_j q_j = E(X)E(Y). \]
Sposób 2. Biorąc \(g\) jako \(g(x,y) = xy\) mamy: \(\di E(XY) = \sum _{i,j}x_i y_j p_i q_j = E(X)\cdot E(Y)\).
Pytanie 6.5 Dana jest taka funkcja \(f : [a,b] \str \r \), że \(J = \int _a^b f(x)\,dx < \infty \). Wskaż taką zmienną losową \(X\), że \(J = E(X)\).
Wskazówka. \(J = E(X)\), gdzie \(X = (b-a)f(U)\), \(U\) – zmienna losowa o rozkładzie \(U(a,b)\).
Pytanie 6.6 Zmienna losowa \(X\) ma rozkład \(P(X=i) = 2^{-i}\) dla \(i = 1,2,3,...\), a funkcja \(g\) jest dana wzorem; \(g(i) = (-1)^{i+1}\frac {2^i}{i}\). Czy istnieje \(E(g(X))\)? Czy jest zbieżny szereg \(\sum _{i=1}^\infty g(i) P(X =i)\)?
Wskazówka. \(\sum _{i=1}^\infty g(i)^+P(X=i) = \infty \), \(\sum _{i=1}^\infty g(i)^-P(X=i) = \infty \), więc \(E(g(X))\) nie istnieje.
\(\sum _{i=1}^\infty g(i) P(X =i) = \sum _{i=1}^\infty \frac {(-1)^{i+1}}{i} = \ln 2 \)