Pytanie 2.1 Niech \(A, B \in \Sigma \). Wykaż, że jeżeli \(P(A) = 1\), to \(P(A\cap B) = P(B)\).
Wskazówka. \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)\), \(P(A \cup B ) = P(A) =1\).
Pytanie 2.2 Wyprowadź wzór na \(P(A \cup B \cup C)\). Uogólnij.
Wskazówka. \(P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A\cap B) - P(A\cap C) - P(B \cap C) + P(A\cap B \cap C)\).
Pytanie 2.3 Gracz otrzymuje 13 kart wylosowanych z talii 52 kart i podaje liczbę otrzymanych asów oraz sumaryczną liczbę pozostałych figur. Wskaż zdarzenia, zdarzenia elementarne. Czy za pomocą prawdopodobieństw zdarzeń można obliczyć prawdopodobieństwo tego, że: (a) gracz otrzymał same piki, (b) gracz nie dostał asa?
Wskazówka. \(\Omega = \{K \subset \{1,...,52\}: \sharp K = 13\}\) – zdarzenia elementarne.
\(\Sigma = \s (K_{ij} : i = 0,1,2,3,4, j = 0,1,...,12\}\) – zdarzenia, gdzie \(K_{ij} \subset \{1,...,52\}\) – zawiera dokładnie \(i\) asów oraz dokładnie \(j\) pozostałych figur.
Ad (a). Nie. Ad (b). Tak.
Pytanie 2.4 Gracz rzuca trzema monetami jednocześnie tak długo, aż na wszystkich trzech pojawi się orzeł. Opisz przestrzeń probabilistyczną odpowiadającą temu doświadczeniu.
Wskazówka. \(\Omega = \{1,2,3, ... \}\), \(\Sigma ={\cal P}(\Omega )\). \(p_i = (\frac {7}{8})^{i-1}\frac 18\).
Pytanie 2.5 Niech \(\cal F\) oznacza rodzinę wszystkich przedziałów \((a,b)\), gdzie \(a < b\), \(a,b, \in \r \). Wykaż, że \(\s ({\cal F}) = {\cal B}(\r )\).
Wskazówka. Każdy przedział \((a,b)\) należy do \({\cal B}(\r )\), więc \(\s ({\cal F} ) \subset {\cal B}(\r )\).
Niech \(G \subset \r \) będzie zbiorem otwartym. Wtedy \(G = \bigcup _{x \in \mathbb {Q} \cap G} (x- \ve _x,x+\ve _x)\), \(\ve _x >0\) jest tak dobrane, że \((x- \ve _x,x+\ve _x) \subset G\). Więc \(\s ({\cal F})\) zawiera wszystkie zbiory otwarte, a więc zawiera także \({\cal B}(\r )\).
Pytanie 2.6 Do gry w pliszki potrzebne są dwa patyki: jeden o długości co najmniej 70 cm, drugi o długości 10 do 20 cm. Gracze łamią metrowy patyk w losowo wybranym punkcie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że mogą grać?
Wskazówka. \(\frac 15\).