(image)

Rachunek prawdopodobieństwa 1, 2

19.2 Rozkład normalny na płaszczyźnie

Rozpatrzymy teraz rozkład normalny dwuwymiarowy, bardzo ważny w zastosowaniach. Załóżmy, że \(X = (\xi ,\eta )\) jest wektorem o rozkładzie \(N_2(\mu ,\Sigma )\). Rozkład ten zależy od pięciu parametrów:

\begin{equation} \mu = \left [\begin{array}{l} m_\xi \\ m_\eta \end {array} \right ], \ \ \Sigma = \left [\begin{array}{cc} \sigma _\xi ^2 & \varrho \, \sigma _\xi \sigma _\eta \\ \varrho \, \sigma _\xi \sigma _\eta & \sigma _\eta ^2 \end {array} \right ], \end{equation}

gdzie \(\varrho \) jest współczynnikiem korelacji.

Widać, że: \(\Sigma > 0 \rwn |\varrho | \neq 1\), gdyż:

\[\det \Sigma = \sigma _\xi ^2\sigma _\eta ^2(1 - \varrho ^2), \ \ \ \‚\Sigma ^{-1} = \left [\begin {array}{cc} \frac {1}{\sigma _\xi ^2(1 - \varrho ^2)} & - \frac {\varrho }{\sigma _\xi \sigma _\eta (1 - \varrho ^2)} \\ - \frac {\varrho }{\sigma _\xi \sigma _\eta (1 - \varrho ^2)} & \frac {1}{\sigma _\eta ^2(1 - \varrho ^2)} \end {array} \right ].\]

Twierdzenia 19.4 (2) oraz 19.5 zyskują teraz prostą interpretację.

  • Wniosek – 19.6 \(\xi \), \(\eta \) są niezależne \(\rwn \varrho = 0\).

    Istnieje prosta \(M\), \(P((\xi ,\eta ) \in M) = 1 \rwn |\varrho | = 1\).

Wzór na gęstość ma postać (ćwiczenie):

\begin{equation} f(x,y) = {\frac {1}{2\pi \,{\it \sigma _\xi }\,{\it \sigma _\eta }\,\sqrt {1-{\varrho }^{2}} }} {e^{ -\frac {1}{2(1 - \varrho ^2)}\left ({\frac {(x-{\it m_\xi })^{2}}{{{\it \sigma _\xi }}^{2}}}-2\,{\frac {\varrho \, (x-{\it m_\xi } )(y-{ \it m_\eta })}{{\it \sigma _\xi }\,{\it \sigma _\eta }}}+{\frac {(y- m_\eta )^{2}}{{{\it \sigma _\eta }}^{2}}}\right )}}. \end{equation}

Wszystkie parametry mają ciekawą interpretację geometryczną, którą można łatwo zrozumieć analizując powyższy wzór oraz wykres gęstości.

\(m_\xi = 10\), \(m_\eta = 20\), \(\sigma _\xi = 1\), \(\sigma _\eta = 2\), oraz \(\varrho := -0.7\).

(image)

(image)

(image)

Zmień \(\sigma _\xi \) Zmień \(\sigma _\eta \) Zmień \(\rho \)