Rachunek prawdopodobieństwa 1, 2
\(\newcommand{\footnotename}{footnote}\)
\(\def \LWRfootnote {1}\)
\(\newcommand {\footnote }[2][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\)
\(\newcommand {\footnotemark }[1][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\)
\(\newcommand \ensuremath [1]{#1}\)
\(\newcommand {\LWRframebox }[2][]{\fbox {#2}} \newcommand {\framebox }[1][]{\LWRframebox } \)
\(\newcommand {\setlength }[2]{}\)
\(\newcommand {\addtolength }[2]{}\)
\(\newcommand {\setcounter }[2]{}\)
\(\newcommand {\addtocounter }[2]{}\)
\(\newcommand {\cline }[1]{}\)
\(\newcommand {\directlua }[1]{\text {(directlua)}}\)
\(\newcommand {\luatexdirectlua }[1]{\text {(directlua)}}\)
\(\newcommand {\protect }{}\)
\(\def \LWRabsorbnumber #1 {}\)
\(\def \LWRabsorbquotenumber "#1 {}\)
\(\def \mathchar {\ifnextchar "\LWRabsorbquotenumber \LWRabsorbnumber }\)
\(\def \mathcode #1={\mathchar }\)
\(\let \delcode \mathcode \)
\(\let \delimiter \mathchar \)
\(\let \LWRref \ref \)
\(\renewcommand {\ref }{\ifstar \LWRref \LWRref }\)
\(\newcommand {\intertext }[1]{\text {#1}\notag \\}\)
\(\newcommand {\ep }{\varepsilon }\)
\(\newcommand {\ve }{\varepsilon }\)
\(\newcommand {\s }{\sigma }\)
\(\newcommand {\o }{\omega }\)
\(\newcommand {\f }{\varphi }\)
\(\newcommand {\vr }{\varrho }\)
\(\newcommand {\a }{\mathcal {A}}\)
\(\newcommand {\h }{\mathcal {H}}\)
\(\newcommand {\b }{\mathcal {B}}\)
\(\newcommand {\G } {\mathbb {G}}\)
\(\newcommand {\r } {\mathbb {R}}\)
\(\newcommand {\rn } {\mathbb {R}^n}\)
\(\newcommand {\Z } {\mathbb {Z}}\)
\(\newcommand {\z } {\mathbb {Z}}\)
\(\newcommand {\N } {\mathbb {N}}\)
\(\newcommand {\C } {\mathbb {C}}\)
\(\newcommand {\K } {\mathbb {K}}\)
\(\newcommand {\Q } {\mathbb {Q}}\)
\(\newcommand {\bx }{\mathbf {x}}\)
\(\newcommand {\by }{\mathbf {y}}\)
\(\newcommand {\bY }{\mathbf {Y}}\)
\(\newcommand {\p }{\mathbf {p}}\)
\(\newcommand {\P }{\mathbf {P}}\)
\(\let \leq \leqslant \)
\(\let \le \leqslant \)
\(\newcommand {\O }{\emptyset }\)
\(\newcommand {\imp }{\Longrightarrow }\)
\(\newcommand {\str }{\longrightarrow }\)
\(\newcommand {\rwn }{\Longleftrightarrow }\)
\(\newcommand {\di }{\displaystyle }\)
19.2 Rozkład normalny na płaszczyźnie
Rozpatrzymy teraz rozkład normalny dwuwymiarowy, bardzo ważny w zastosowaniach. Załóżmy, że \(X = (\xi ,\eta )\) jest wektorem o rozkładzie \(N_2(\mu ,\Sigma )\). Rozkład ten zależy od pięciu
parametrów:
\(\seteqnumber{0}{19.}{0}\)
\begin{equation}
\mu = \left [\begin{array}{l} m_\xi \\ m_\eta \end {array} \right ], \ \ \Sigma = \left [\begin{array}{cc} \sigma _\xi ^2 & \varrho \, \sigma _\xi \sigma _\eta \\ \varrho \, \sigma _\xi \sigma _\eta &
\sigma _\eta ^2 \end {array} \right ],
\end{equation}
gdzie \(\varrho \) jest współczynnikiem korelacji.
Widać, że: \(\Sigma > 0 \rwn |\varrho | \neq 1\), gdyż:
\[\det \Sigma = \sigma _\xi ^2\sigma _\eta ^2(1 - \varrho ^2), \ \ \ \‚\Sigma ^{-1} = \left [\begin {array}{cc} \frac {1}{\sigma _\xi ^2(1 - \varrho ^2)} & - \frac {\varrho }{\sigma _\xi \sigma _\eta (1 -
\varrho ^2)} \\ - \frac {\varrho }{\sigma _\xi \sigma _\eta (1 - \varrho ^2)} & \frac {1}{\sigma _\eta ^2(1 - \varrho ^2)} \end {array} \right ].\]
Twierdzenia 19.4 (2) oraz 19.5 zyskują teraz prostą interpretację.
-
Wniosek – 19.6 \(\xi \), \(\eta \) są niezależne \(\rwn \varrho = 0\).
Istnieje prosta \(M\), \(P((\xi ,\eta ) \in M) = 1 \rwn |\varrho | = 1\).
Wzór na gęstość ma postać (ćwiczenie):
\(\seteqnumber{0}{19.}{1}\)
\begin{equation}
f(x,y) = {\frac {1}{2\pi \,{\it \sigma _\xi }\,{\it \sigma _\eta }\,\sqrt {1-{\varrho }^{2}} }} {e^{ -\frac {1}{2(1 - \varrho ^2)}\left ({\frac {(x-{\it m_\xi })^{2}}{{{\it \sigma _\xi }}^{2}}}-2\,{\frac {\varrho
\, (x-{\it m_\xi } )(y-{ \it m_\eta })}{{\it \sigma _\xi }\,{\it \sigma _\eta }}}+{\frac {(y- m_\eta )^{2}}{{{\it \sigma _\eta }}^{2}}}\right )}}.
\end{equation}
Wszystkie parametry mają ciekawą interpretację geometryczną, którą można łatwo zrozumieć analizując powyższy wzór oraz wykres gęstości.
\(m_\xi = 10\), \(m_\eta = 20\), \(\sigma _\xi = 1\), \(\sigma _\eta = 2\), oraz \(\varrho := -0.7\).
Zmień \(\sigma _\xi \) Zmień \(\sigma _\eta \) Zmień \(\rho \)