Niech \(\Omega = \{0,1\}\), \(\Sigma = {\cal P}(\Omega )\), a miara \(P\) zadana jest przez warunki:
\[P(\{0\}) = 1 - p, \ \ P(\{1\}) = p,\]
gdzie \(0 <p < 1\) jest ustaloną liczbą. Taka przestrzeń, próba Bernoulliego, może być matematycznym modelem doświadczenia, które:
1. kończy się dokładnie dwoma wynikami,
2. znane są prawdopodobieństwa ich uzyskania,
3. prawdopodobieństwa te są takie same w każdej próbie.
Używamy często nazw „sukces" oraz „porażka"i w modelu identyfikujemy je jako 1 oraz 0.
Definicja – 3.11 Przestrzeń \((\Omega ^n, \Sigma ^n, P^n)\) nazywa się schematem Bernoulligo.
Jest to model doświadczenia składającego się z \(n\) niezależnych prób Bernoulliego.
Przykład – 3.12 Typowym zagadnieniem związanym ze schematem Bernoulliego jest następujący problem. Ustalmy \(k\), \(0 \le k \le n\):
Obliczyć \(P^n(A)\), gdzie \(A = \{\o = (\o _1, \dots , \o _n) \in \Omega ^n: \sum _{i=1}^n \o _i = k\}\).
Zauważmy, że dla każdego \(\o = (\o _1, \dots , \o _n) \in \Omega \)
\[\di P^n(\{\o \}) = P(\{\o _1\}) \cdot \dots \cdot P(\{\o _n\}) = p^{\sum _{i=1}^n\o _i} (1-p)^{n -\sum _{i=1}^n\o _i}.\]
Gdy \(\o \in A\), to \(P^n(\{\o \}) = p^k(1-p)^{n-k}\). Ponieważ zdarzenie \(A\) składa się z \(\binom {n}{k}\) elemetów, to
\[ P^n(A) = \binom {n}{k} p^k(1-p)^{n-k}. \]
Warto ten wzór porównać z wzorem na prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie \(k\) elementów w tracie losowania \(n\) elementów ze zwracaniem, wzór (2.1).
Przykład – 3.13 Salę oświetla 150 żarówek: po 15 żarówek w 10 rzędach. Wiadomo, że prawdopodobieństwo zepsucia się pojedynczej żarówki w ciągu nachodzącego tygodnia wynosi \(p= 0.06\). Wiemy też, że żarówki psują się niezależnie od siebie. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że po upływie tygodnia w co najmniej 9 rzędach będzie świecić co najmniej po 13 żarówek?
\(A\) – w ustalonym rzędzie świeci co najmniej 13 żarówek.
\(\di prz = P(A) = \sum _{i=0}^2\binom {15}{i}p^i(1-p)^{15 - i}\).
Odpowiedź na pytanie: \(\di psali = \sum _{i=9}^{10}\binom {10}{i}prz^i(1-prz)^{10 - i}\).
Odpowiedź numeryczna: \(prz = 0.9428666763\), \(psali = 0.8917349692\).
Gdy \(p = 0.05\), to \(prz = .9637997614\), \(psali = 0.9513932113\).