Nadzieja matematyczna przynosi informację o tendencji centralnej rozkładu zmiennej losowej. Interesuje nas także informacja jak daleko od nadziei mogą znajdować się wartości tej zmiennej (jak duży jest rozrzut). Najważniejszą miarą rozrzutu jest wariancja oraz jej pierwiastek – odchylenie standardowe. Zaczniemy jednak od definicji momentów.
Niech \(X\) będzie zmienną losową określoną na przestrzeni probabilistycznej (Ω, Σ, P ) . Zakładamy, że \(m = E(X) \in \r \). Niech \(k \ge 1\)
Twierdzenie – 6.19 Niech \(l \ge k\). \(E(X^l) \in \r \imp E(X^k) \in \r \).
Dowód. \(\di E(|X^k|) = \int _\Omega |X^k| \,dP = \int _{|X| < 1} |X^k|\,dP + \int _{|X| \ge 1} |X^k|\,dP \le \int _{|X| < 1} 1\,dP + \int _{|X| \ge 1} |X^l|\,dP \le 1 + \int _\Omega |X^l|\,dP = 1 + E(|X^l|)\).
Zakładamy, że zmienna losowa \(X\) ma skończoną nadzieję matematyczną \(m = E(X)\). Wtedy interpretujemy:
\(X - m \) – odchylenie od średniej.
\(E(|X-m|)\) – oczekiwana wartość odchylenia (średni błąd)
Wariancja jest centralnym momentem rzędu 2.
Uwaga – 6.21
\[D^2(X) = 0 \ \rwn \ X = m.\]
Obliczanie momentów
\(\seteqnumber{0}{6.}{0}\)\begin{equation} \label {eq:m3} D^2(X) = E((X-m)^2) = E(X^2) - 2mE(X) + E(m^2) = E(X^2) - m^2. \end{equation}
\(\seteqnumber{0}{6.}{1}\)\begin{equation} \label {eq:m4} D^2(cX) = c^2D^2(x) , \mbox { gdy } c \in \r . \end{equation}
\(\seteqnumber{0}{6.}{2}\)\begin{equation} \label {eq:m1} E(X^k) = \int _\r x^k \,dP_X(x) = \left \{\begin{array}{ll} \di \sum _i x_i^kp_i , & \mbox { w przypadku dyskretnym},\\ \di \int _\r x^k f(x)\,dx , & \mbox { w przypadku ciÄĚgÅĆym.} \end {array} \right . \end{equation}
\(\seteqnumber{0}{6.}{3}\)\begin{equation} \label {eq:m2} E((X-m)^k) = \int _\r (x-m)^k \,dP_X(x) = \left \{\begin{array}{ll} \di \sum _i (x_i - m)^kp_i , & \mbox { w przypadku dyskretnym,}\\ \di \int _\r (x - m)^k f(x)\,dx , & \mbox { w przypadku ciÄĚgÅĆym.} \end {array} \right . \end{equation}
\(\seteqnumber{0}{6.}{4}\)\begin{equation} \label {eq:m2} D^2(X) = \int _\r (x-m)^2 \,dP_X(x) = \left \{\begin{array}{ll} \di \sum _i (x_i - m)^2p_i , & \mbox { w przypadku dyskretnym,}\\ \di \int _\r (x - m)^2 f(x)\,dx , & \mbox { w przypadku ciÄĚgÅĆym.} \end {array} \right . \end{equation}
\(\seteqnumber{0}{6.}{5}\)\begin{equation} \label {eq:m2} D^2(X) = \int _\r x^2 \,dP_X(x) - m^2 = \left \{\begin{array}{l} \di \sum _i x_i^2p_i - (\sum _i x_ip_i)^2, \mbox {w przypadku dyskretnym,}\\ \di \int _\r x^2 f(x)\,dx - (\int _\r x f(x)\,dx)^2, \mbox {w przypadku ciÄĚgÅĆym.} \end {array} \right . \end{equation}