Pytanie 3.1 Sformułuj i wykaż twierdzenie mówiące o tym, że \(P(\cdot |W)\) określa przestrzeń probabilistyczną.
Wskazówka. Niech (Ω, Σ, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną. Niech \(W \in \Sigma \), \(P(W) > 0\). Niech \(\Sigma _W = \{A \subset W: A \in \Sigma \}\), Niech \(P_W(A) = P(A|W)\). Wtedy \((W,\Sigma _W,P_W)\) jest przestrzenią probabilistyczną.
Pytanie 3.2 Czy jest prawdą, że \(P(A|W_1 \cup W_2) = P(A|W_1) + P(A|W_2)\)?
Wskazówka. Nie.
Pytanie 3.3 Jak można osłabić założenia w twierdzeniu o prawdopodobieństwie całkowitym?
Wskazówka.
\(P(W_i) > 0\) dla każdego \(i = 1,\dots , N\), \(N \le \infty \)
\(P(W_i\cap W_j) = 0\), dla wszystkich \(i \neq j\),
\(P(W_1 \cup \dots \cup W_N) = 1.\)
Pytanie 3.4 W Przykładzie 3.2 oblicz \(P(K_1|K_3)\).
Wskazówka. \(\frac {23}{288}\).
Pytanie 3.5 Rzucamy kostką do gry. Wskaż dwa nietrywialne zdarzenia niezależne w przestrzeni probabilistycznej odpowiadającej temu eksperymentowi.
Wskazówka. Na przykład: \(A = \{1,2\}\), \(B = \{2,3,4\}\).
Pytanie 3.6 Uogólnij sytuację opisaną jako schemat Bernoulliego przy założeniu, że każde doświadczenie może mieć trzy różne wyniki
Wskazówka. Niech \(\Omega = \{1,2,3\}\), \(\Sigma = {\cal P}(\Omega )\), a miara \(P\) zadana jest przez warunki:
\[P(\{1\}) = p_1, \ \ P(\{2\}) = p_2, P(\{3\}) = p_3 \]
gdzie \(0 < p_i < 1 \) spełniają \(p_1+p_2+p_3 = 1\). Gdy mamy \(n\) doświadczeń rozważamy przestrzeń \((\Omega ^n, \Sigma ^n, P^n)\).
Ustalmy takie \(k_i\), \(0 \le k_i \le n\) dla \(i = 1,2,3\), że \(k_1+k_2+k_3 = n\). Interesuje nas zbiór \(A\) składający się z ciągów, które zawierają dokładnie \(k_1\) jedynek, \(k_2\) dwójek, a więc także \(k_3\) trójek. Chcemy obliczyć \(P^n(A)\), gdzie \(A = \{\o = (\o _1, \dots , \o _n) \in \Omega ^n: \sum _{s:\o _s=i} 1 = k_i\}\).
Dla każdego \(\o = (\o _1, \dots , \o _n) \in A\) mamy \(\di P^n(\{\o \}) = p_1^{k_1}p_2^{k_2}p_3^{k_3}\).
Ponieważ zdarzenie \(A\) składa się z \(\di \frac {n!}{k_1!k_2!k_3!} =\binom {n}{k_1} \binom {n-k_1}{k_2}\) elemetów, to
\[ P^n(A) = \frac {n!}{k_1!k_2!k_3!} p_1^{k_1}p_2^{k_2}p_3^{k_3}. \]