Pytanie 13.1 Znajdź rozkład warunkowy maksimum liczby oczek w rzucie parą symetrycznych kostek pod warunkiem, że na drugiej kostce wypadła liczba parzysta. Wyznacz jego nadzieję matematyczną.
Wskazówka. Określamy zmienne losowe \(M\) – maksimum oczek oraz \(Y\): \(Y = 0\), gdy na drugiej kostce jest liczba parzysta, \(Y=1\), gdy na drugiej kostce jest liczba nieparzysta. Interesuje nas rozkład \(P_{M|Y=0}\). Wyznaczamy najpierw „na placachżozkład wektora losowego \((Y,M)\).
\[ \begin {array}{ccccccc} $Y$\backslash $M$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\[1mm] 0 & 0 & 2/36 & 1/36 & 5/36 & 2/36 & 8/36 \\ 1 & 1/36 & 1/36 & 4/36 & 2/36 & 7/36 & 3/36 \end {array} \]
Rozkład \(P_{M|Y=0}\):
\[ \begin {array}{ccccccc} \ \ \ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\[1mm] \ \ \ & 0 & 2/18 & 1/18 & 5/18 & 2/18 & 8/18 \end {array} \]
\(\di E(M|Y=0) = \frac {85}{18}\).
Pytanie 13.2 Wektor losowy \((X,Y)\) ma rozkład jednostajny na trójkącie o wierzchołkach \((-1,0)\), \((1,0)\), \((0,1)\). Wyznacz \(E(X|Y=1/2)\), \(E(Y|X=1/2)\).
Wskazówka. \(E(X|Y=1/2) = 0\), \(E(Y|X=1/2)= 1/4\).
Pytanie 13.3 Dana jest przestrzeń probabilistyczna \((\Omega ,\Sigma ,P)\) oraz zmienna losowa \(X : \Omega \str \r \). Czy i jakie zawierania zachodzą pomiędzy \(\sigma (X)\), \(\sigma (X^2)\) oraz \(\sigma (X^3)\): wypowiedz i udowodnij twierdzenie, podaj odpowiedni przykład jeżeli zawieranie nie zachodzi.
Wskazówka. \(\sigma (X^2) \subset \sigma (X)\), \(\sigma (X) = \sigma (X^3) \).
Dowód. Niech \(A \in \sigma (X^2)\). Wtedy istnieje taki zbiór borelowski \(B\), że \(A = X^{-2}(B) =\{\omega ; X^2(\omega ) \in B\} = \{\omega : X(\omega ) \in g^{-1}(B)\} = X^{-1}(g^{-1}(B))\), gdzie \(g(x) = x^2\). Ponieważ \(g\) jest funkcją ciągłą, więc funkcją borelowską, więc \(g^{-1}(B)\) jest borelowski, więc \(A \in \sigma (X)\), czyli \(\sigma (X^2) \subset \sigma (X)\).
Podobnie \(\sigma (X^3) \subset \sigma (X)\), tutaj \(g(x) = x^3\). Podobnie \(\sigma (X) \subset \sigma (X^3)\), tutaj \(g(x) = \sqrt [3]{x}\).
Przykład. Niech \(X\) będzie zmienną losowa o rozkładzie \(P(X = -1) = P(X=1)= 1/2\). Wtedy \(X^2\) jest stałą równą 1. \(\sigma (X)\) składa się z czterech elementów, więc nie jest zawarta w \(\sigma (X^2)\) składającej się tylko z dwóch elementów.
Pytanie 13.4 Przeprowadź dowód własności 7 w Twierdzeniu 13.25.
Wskazówka. Podobnie jak dowód własności 8 (po zamianie ról przez strony).
Pytanie 13.5 Przeprowadzić dowód własności 2 w Twierdzeniu 13.26
Wskazówka. Krok 1. Niech \(Z = I_A\), gdzie \(A \in \a \). Pokażemy, że prawa strona spełnia warunki (M) oraz (C) wymagane od lewej strony. Warunek (M) wynika z faktu, że iloczyn funkcji mierzalnych jest mierzalny. Aby sprawdzić (M) ustalmy dowolne \(B \in \a \). Ponieważ \(A\cap B \in \a \) mamy \(\int _B I_AE(Y|\a )\,dP = \int _{A\cap B}E(Y|\a )\,dP = \int _{A\cap B}Y\,dP = \int _B I_A Y\,dP\), co oznacza warunek (C).
Pytanie 13.6 Zakładamy, że \(E(Y)\) jest skończona. Czy zachodzi, dlaczego?. (1) Jeżeli wektor losowy \(X\) ma rozkład dyskretny, to zmienna losowa \(E(Y|X)\) ma rozkład dyskretny. (2) Jeżeli wektor losowy \(X\) ma rozkład ciągły, to zmienna losowa \(E(Y|X)\) ma rozkład ciągły.
Wskazówka. Ad (1). TAK. Wiemy, że \(E(Y|X) = \alpha \circ X\), gdzie \(\alpha \) jest funkcją borelowską. Z ałożenia istnieje zbiór \(K\) co najwyżej przeliczalny taki, że \(P(X \in K) = 1\). Oczywiście \(\alpha (K)\) jest co najwyżej przeliczalny a \(P(E(Y|X) \in \alpha (K)) \ge P(X \in K) = 1\), więc \(E(Y|X)\) ma rozkład dyskretny.
Ad (2). NIE. Na przykład, gdy \(X, Y\) są niezależne, to \(E(Y|X)\) jest stałą, więc nie ma rozkładu ciągłego