Pytanie 14.1 Wektor losowy \((X,Y)\) ma rozkład o gęstości \(c x I_{[0,1]^2}\), gdzie \(c \in \r \). Wyznacz kolejno: \(E(X|Y)\), \(E(Y|X)\), \(D^2(X)\), \(D^2(E(X|Y))\), \(D^2(Y)\), \(D^2(E(Y|X))\).
Wskazówka. Całka \(\int _{[0,1]^2} f_{X,Y)}\,d(x,y)\) musi być równa 1, stąd \(c = 2\). Wyznaczamy rozkłady brzegowe i na tej podstawie \(D^2(X) = \frac {1}{18}\), \(D^2(Y) = \frac {1}{12} \). Wyliczamy \(E(Y|X=x) = \frac 12 \), \(E(X|Y = y) = \frac 23\). Tak więc \(E(Y|X) = \frac 12 \), \(E(X|Y) = \frac 23\) są stałymi, więc ich wariancje są równe \(0\).
Pytanie 14.2 Zmienna losowa \(X\) ma rozkład \(U(0,3)\). Niech \(A_i = X^{-1}((i-1,i])\) dla \(i = 1,2,3\). Oblicz \(D^2(E(X|\s (A_1,A_2,A_3)))\).
Wskazówka. \(E(X|\s (A_1,A_2,A_3))\) ma rozkład jednostajny dyskretny skupiony na zbiorze \(\{\frac 12, \frac 32, \frac 52\}\). \(D^2(E(X|\s (A_1,A_2,A_3))) = \frac 23\).
Pytanie 14.3 Uzupełnij dowód Twierdzenia 14.10. (a) Dlaczego \(E(Y|\a ) \in \Delta \) p.w.? (b) Dlaczego zachodzi nierówność (26)?
Wskazówka. Ad (a). Jeżeli \(X \le b\), to \(E(X|\a ) \le b\).
Ad (b). Można wziąć \(\a = \{\emptyset ,\Omega \}\).
Pytanie 14.4 Wektor losowy \((X,Y)\) ma rozkład jednostajny na półkolu \(x^2 +y^2 \le 1 , y\ge 0\). Znajdź: \(D^2(Y)\), \(D^2(E(Y|X))\), \(D^2(X)\), \(D^2(E(X|Y))\).
Wskazówka. . \(D^2(X) = \frac 14\), \(E(X|Y) = 0\), \(D^2(E(X|Y)) = 0\),
\(D^2(Y) = \frac 14 - \frac {16}{9\pi ^2}\), \(E(Y|X) = \frac 12 \sqrt {1 - X^2}\), \(D^2(E(Y|X)) = \frac {3}{16} - \frac {16}{9\pi ^2}\).
Pytanie 14.5 Wyznaczyć \(D^2(Y)\) oraz \(D^2(E(Y|(X,Z)))\) dla zmiennych losowych określonych w Przykładzie 14.9.
Wskazówka. Najpierw wyznaczamy: \(E(Y^2|X = x,Z = 0) = \frac {x^2}{3}\), \(E(Y^2|X = x,Z = 1) = \frac {x^2+x+1}{3}\). Stosując analogiczne rozumowanie jak w Przykładzie 14.9 wyliczamy \(E(Y^2)\) jako \(E(E(Y^2|(X,Z)) = \frac 19 + \frac {1}{2}p\). Mamy więc:
\[D^2(Y) = E(Y^2) - E(Y)^2 = \frac 19 + \frac {1}{2}p - \left (\frac 14 +\frac {p}{2}\right )^2 = \frac {7}{144} + \frac 14 p - \frac 14 p^2.\]
Wynik uzyskany w Przykładzie 14.9 można zapisać w formie:
\[E(Y|(X,Z)) = \frac {X}{2}I_{\{Z=0\}} + \frac {X+1}{2}I_{\{Z=1\}} \mbox { dla } 0 <x<1.\]
Możemy więc policzyć:
\[E(E(Y|(X,Z))^2) = E\left (\left (\frac {X}{2}I_{\{Z=0\}} + \frac {X+1}{2}I_{\{Z=1\}}\right )^2\right )\]
\[ = E\left ((\frac {X}{2}I_{\{Z=0\}})^2\right ) + E\left ((\frac {X+1}{2}I_{\{Z=1\}})^2\right ) + 2\cdot 0\]
\[= \frac 14 E(X^2)(1-p) + \frac 14 E((X+1)^2)p = \frac 14 \left (\frac 13 (1-p) + \frac 73 p\right ) = \frac {1}{12} + \frac 12 p.\]
\[D^2(E(Y|(X,Z))) = \frac {3}{144} +\frac 14 p - \frac 14 p^2.\]
Pytanie 14.6 Przy standardowych oznaczeniach i założeniu, że \(E(X) \in \r \) porównaj
\[ E(X|\a )^+, \ E(X^+|\a ) \ \ \mbox { oraz podovnie } \ \ E(X|\a )^-, \ E(X^-|\a ). \]
Wskazówka. Stosujemy nierówność Jensena do funkcji wypukłej \(g(x) = \max (0,x)\) oraz \(g(x) = - \max (0,-x)\).
\[ E(X|\a )^+ \le E(X^+|\a ), \ \ \ E(X|\a )^- \ge E(X^-|\a ). \]