Następujące twierdzenie jest jednym z wielu wyników dotyczących martyngałów i mających interpretację w języku teorii gier.Wyobraźmy sobie, że po każdej grze gracz na podstawie znajomości dotychczasowych rezultatów może podjąć decyzję: gra w kolejnej, lub ją opuszcza. Twierdzenie orzeka, że gdy gra jest sprawiedliwa, lub korzystna, to jakakolwiek strategia tego typu nie zmieni jej charakteru.
Twierdzenie – 15.10 (Halmos) Niech \(\left (\{X_n\}, \{\a _n\} \right )\) będzie martyngałem (submartyngałem), \(B_n \in {\cal B}(\rn )\), dla \(n =1,2,3, \dots \).
\[\ve _n = \left \{ \begin {array}{ll} 1 & \mbox { gdy } (X_1,\dots , X_n) \in B_n \\ 0 & \mbox { gdy } (X_1,\dots , X_n) \notin B_n. \end {array}\right . \]
Określamy:
\[ Y_1 = X_1, \ \ \ Y_{n+1} = Y_n + \ve _n (X_{n+1} - X_n), \ \ n \ge 1. \]
Wtedy:
(1) \(\left (\{Y_n\}, \{\a _n\} \right )\) jest martyngałem (submartyngałem).
(2) \(E(Y_n) = E(X_n)\), (\(E(Y_n) \le E(X_n)\)), dla \(n \ge 1\).
Przypomnienie twierdzenia 13.26.
1. Jeżeli \(X :\Omega \str \r ^k\) jest wektorem losowym takim, że \(X,Y\) są niezależne, to \(E(Y|X) =E(Y)\).
2. Jeżeli \(Z\) jest \(\a \)- mierzalna oraz \(E(ZY) \in \r \), to \(E(ZY|\a ) = ZE(Y|\a )\).
3. Jeżeli \(g :\r ^k \str \r \) jest funkcją borelowską, \(E(g(X)) \in \r \), to \(E(g(X)|X) = g(X)\).
4. Jeżeli \(X\) jest zmienną losową, \(E(X) \in \r \), to \(E(X|X) = X\).
Dowód. Ad (1). Zmienna losowa \(\ve _n = I_{(X_,\dots ,X_n) \in B_n}\) jest \(\s (X_1,\dots ,X_n)\)-mierzalna, a więc \(\a _n\)-mierzalna. W takim razie zmienna losowa \(Y_n\) jest \(\a _n\) mierzalna.
\[E(Y_{n+1}|\a _n) = E(Y_n+\ve _n(X_{n+1} - X_n)|\a _n) = E(Y_n|\a _n) + \ve _n E(X_{n+1} - X_n|\a _n) \]
\[ = ( \ge ) Y_n + \ve _n(X_n - X_n) = Y_n. \]
Ad (2) Oczywiście \(E(Y_1) = E(X_1)\), czyli \(E(X_1 - Y_1) = 0\). Dalej mamy:
\[X_{n+1} - Y_{n+1} = X_{n+1} - Y_n - \ve _n(X_{n+1} - X_n) = \]
\[ = (1 - \ve _n) (X_{n+1} - X_n) + (X_n - Y_n).\]
Funkcja \(1 - \ve _n\) oraz funkcja \(X_n - Y_n\) są \(\a _n\)-mierzalne, więc z własności 2 z własności 3 w przypomnianym u góry twierdzeniu 13.26 otrzymujemy:
\[E(X_{n+1} - Y_{n+1}|\a _n) = (1 - \ve _n)(E(X_{n+1}|\a _n) - E(X_n|\a _n)) + X_n-Y_n. \]
Z założenia \(E(X_{n+1}|\a _n) = (\ge ) X_n \), więc
\[E(X_{n+1} - Y_{n+1}|\a _n) = ( \ge ) (1 - \ve _n) (X_n - X_n) + (X_n - Y_n) = X_n- Y_n.\]
Gdy weźmiemy nadzieję matematyczną obydwu stron i skorzystamy z założenia indukcyjnego, widzimy, że \(E(X_{n+1} - Y_{n+1}) = ( \ge ) E(X_n- Y_n)\). \(\Box \)
Przykład – 15.11 Adam i Bolek zwierają następującą umowę. Bolek będzie co minutę rzucał symetryczną kostką, a przed każdym rzutem Adam będzie decydował, czy podejmuje następujące wyzwanie: wpłaca Bolkowi 3.5 złotych i otrzymuje \(x\) złotych, gdzie \(x\) jest uzyskaną liczbą oczek. Adam jednak postanawia, że jeżeli w kolejnych dwóch rzutach pojawi się „6", wtedy nie obstawi kolejnego rzutu (Bolek jednak wykona rzut), a w każdym innym przypadku podejmuje wyzwanie. Zinterpretujemy tę grę w języku Twierdzenia Halmosa.
Niech \(Z_1, Z_2, Z_3, ...\) oznaczają liczby oczek w kolejnych rzutach wykonywanych przez Bolka. Niech \(X_n = Z_1 + ... +Z_n - 3.5n\). Jest to martyngał ze względu na filtrację \(\s (Z_1,...,Z_n)\) (ćwiczenie). Określamy zbiory borelowskie \(B_i\) w sposób następujący. \(B_1 = \r \), \(B_2 = \{(x_1,x_2 ):\ \sim ( x_1 =3.5, x_2 = 7)\}\), \(B_3 = \{(x_1,x_2,x_3): \ \sim (x_2 = x_1+3.5, x_3 = x_2+3.5)\}\) , .... Wtedy \(Y_n\) określone w Twierdzeniu Halmosa jest ciągiem wygranych Adama.
Twierdzenie Halmosa można uogólnić. Poniżej wypowiedź dla przypadku martyngałów.
Twierdzenie – 15.12 Niech \(\left (\{X_n\}, \{\a _n\} \right )\) będzie martyngałem, niech \(v_n\) będą \(\a _n\)-mierzalne i ograniczone, dla \(n = 0,1,2,3, ....,\).
Określamy:
\[ Y_1 = v_0X_1, \ \ \ Y_{n+1} = Y_n + v_n (X_{n+1} - X_n), \ \ n \ge 1. \]
Wtedy: \(\left (\{Y_n\}, \{\a _n\} \right )_{n=1}^\infty \) jest martyngałem. \(E(Y_n) = E(v_0X_1)\) dla \(n \ge 1\).
Dowód. Powtórzenie dowodu pierwszej części Twierdzenia Halmosa. Uwaga. Założenie o ograniczoność \(v_n\) oznacza, że można skorzystać z punkt 2 Twierdzenia 13.26 i otrzymać równość: \(E(v_n(X_{n+1} - X_n)|\a _n) = v_n E(X_{n+1} - X_n|\a _n)\) (ćwiczenie).
Gdy obserwujemy wyniki \(X_n\) kolejnych gier pewnego gracza możemy na tej podstawie robić zakłady dotyczące następnej gry i \(v_n\) może być interpretowane jako wysokość zakładu w kolejnej grze, natomiast \(Y_n\) oznacza nasz zysk (stratę). Jeżeli gra jest sprawiedliwa nasz średni zysk (strata) nie zmienia się.