(image)

Rachunek prawdopodobieństwa 1, 2

15.4 Twierdzenie o zbieżności

Jednym z ważniejszych twierdzeń w teorii martyngałów jest:

  • Twierdzenie – 15.21 Niech \(\left (\{X_n\}, \{\a _n\} \right )\) będzie supmartyngałem, lub submartyngałen spełniającym warunek:

    \begin{equation} \sup _n E(|X_n|) < \infty . \label {wnzbnp} \end{equation}

    Wtedy istnieje taka zmienna losowa \(X\), że \(E(X) \in \r \) oraz:

    \[X_n\stackrel {1}{\to } X. \]

Dowód. Pomijamy.

Łatwo sprawdzić (ćwiczenie)

  • Uwaga – 15.22

    W przypadku supmartyngału: Warunek (15.1) \(\rwn \sup _n E(X_n^-) < \infty \).

    W przypadku submartyngału: Warunek (15.1) \(\rwn \sup _n E(X_n^+) < \infty \).

Jako wniosek otrzymujemy:

  • Wniosek – 15.23 Niech \(\left (\{X_n\}, \{\a _n\} \right )\) będzie supmartyngałem, \(X_n \ge 0\) dla \(n =1, 2, 3, ...\).

    Wtedy istnieje taka zmienna losowa \(X\), że \(E(X) \in \r \) oraz:

    \[X_n\stackrel {1}{\to } X. \]